Coördinatenstelsel van de aarde

Coördinatenstelcel van de Aarde

Nautische mijlen, minuten, seconden en meters

In de zeevaart worden afstanden weergegeven met met de Nautische mijl ofwel de Zeemijl. De snelheid wordt in de zeevaart weergegeven in Knopen; een Knoop staat voor 1 Zeemijl/uur. De Nautische mijl is gebaseerd op 1/60 deel van een lengtegraad van de evenaar, of anders gedefinieerd: 1/60 graad van een willekeurige grootcirkel (zoals twee meridianen in elkaars verlengde) van de aarde. De Engelse wiskundige Richard Norwood (+/-1590 – 1675) ging daarbij uit van de aarde als een perfecte bol. Na verloop van tijd is de Nautische mijl ofwel de Zeemijl vastgesteld op 1,852 kilometer ofwel 1852 meter. Geformuleerd: 1° van een grootcirkel / 60 = 1 Zeemijl.

De oorsprong van de meter gaat uit van de volgende berekening van de Franse wiskundigen Delambre en Méchain gedaan in 1795, namelijk 1/10.000.000 deel van de Meridiaan van Parijs van de geografische noordpool tot de evenaar. Zo berekend is de omtrek van de aarde gemeten over een grootcirkel zoals de evenaar 40.000.000 meter ofwel 40.000 kilometer. Geformuleerd: 1/10.000.000e deel van een kwart van een grootcirkel rondom de aarde is 1 meter, of: 1/40.0000.000 deel van een grootcirkel rondom de aarde = 1 meter. (Er zijn ook andere definities, maar dit terzijde).

Wanneer we 40.000 kilometer delen door 360° volgt daaruit dat 1° overeenkomt met 111,111111 kilometer. (40.000 / 360 = 111,111111) Delen we 111,111111 door 60’ is de uitkomst 1,85185185. (111,111111 / 60 = 1,85185185). Afgerond is deze uitkomst vastgesteld op 1852 meter, de Zeemijl. Geformuleerd: 40.000.000/ 360° = 111.1111,111111 / 60° = 1.851,851851 meter.

Op de zeekaart komt deze afstand van een Nautische mijl of Zeemijl overeen met 1′ op de staande (verticale) kaartrand. Uitsluitend op de evenaar komt een boogminuut overeen met een Zeemijl, van alle andere paralellen zijn, vanwege de bolvorm van de aarde, alle afstanden per  lengtegraad, lengteminuut of lengteseconde geringer. Aan de polen, op 90° noorder- of zuiderbreedte, zijn de afstanden ‘nihil’.

1′ (boogminuut) kan onderverdeeld worden in 60″ (boogseconden), maar kan ook verdeeld worden in decimalen van een boogminuut. 1° = 60′ = 3600″. (1*60*60 = 3600). Is op de staande kaartrand een boogminuut verdeeld in tien gelijke delen, dan omvat ieder tiende deel 6” Bij een verdeling in vijf gelijke delen dan omvat ieder deel 12″. Op een grootcirkel van de aarde komt 1” (boogseconde) overeen met 1851,851851 meter/60” = 30,86 meter. Een tiende deel van een Zeemijl (afgerond 185 meter) wordt een ‘kabel’ genoemd, maar dat is een verouderde term en een aardig ‘weetje’.

Samenvatting

40.000/360 = 111,111111
111,111111/60 = 1,85185185
afgerond 1 Zeemijl = 1852 meter
1 Knoop = 1 Zeemijl / uur

1° = 60′
1′ = 60″
1 = 60 minuten
1 minuut = 60 seconden

Notatie

52° 43’30”
52° 43.5′

37° 14′ 15″
37° 14,25′

68° 49′ 45″
68° 49,75′

Omrekentabel: delen door 60

60″ = 1′
45″ = 0,75′
30″ = 0,5′
15″ = 0,25′

omrekenmethode: delen door 60

54″ / 60 = 0,9
48″ / 60 = 0,8
45″ / 60 = 0,75
42″ / 60 = 0,7
36″ / 60 = 0,6
30″ / 60 = 0,5
24″ / 60 = 0,4
18″ / 60 = 0,3
15″ / 60 = 0,25
12″ / 60 = 0,2
6″ / 60 = 0,1
3″ / 60 = 0,05
1″ / 60 = 0,016

Loxodroom navigatie

Koersen die zich ‘loxodroom’ vervolgen zijn koersen waarbij voortdurend dezelfde kompaskoers wordt aangehouden, vanaf en op weg naar posities op aarde. De hoek tussen de meridianen en de koerslijn is bij ‘loxodrome koersen’ bij iedere meridiaan gelijk.  ‘Loxodrome koersen’ lijken rechtlijnig te zijn vanwege deze consequente hoek tussen de meridianen en de paralellen, maar in werkelijkheid, vanwege de bolvorm van de aarde, is er sprake van een spiraalvormige koerslijn. ‘Loxodroom’ betekent vertaald ‘schuine loop’, duidende op de schuine hoek tussen de koerslijn en de parallellen of meridianen.

Noord-Zuid en Zuid-Noord gerichte koersen (0° en 180°)

Bij koersen recht naar het noorden en zuiden gerichte koersen (0° en 180°) (koers die een meridiaan volgen) komen de boogminuten overeen met de afgelegde Zeemijlen, welke afgelezen kunnen worden op de staande (verticale) kaartrand van de zeekaart. Ter illustratie: varende van bijvoorbeeld 52°39’ noorderbreedte naar en 52°59’ noorderbreedte met koers 0° legt men 59’ – 39’ = 25’ = 20 Zeemijl af. Varende van 35°34’ Noorderbreedte naar 12°27’ Zuiderbreedte met koers 180° wordt er 48°1’ afgelegd, 48°1’*60=2881’ is gelijk aan 2881 Zeemijl.

Loxodrome koersen van noord naar zuid of tegengesteld, 0° en 180°

Oost-West en West-Oost gerichte (90° en 270°)

Bij koersen recht naar het westen en oosten gerichte koersen (90° en 270°) komen uitsluitend en alleen op de evenaar de boogminuten overeen met de afgelegde Zeemijlen. Op alle andere parallellen zijn de afgelegde afstanden kleiner dan het aantal boogminuten. Op de evenaar zijn de boogafstand in boogminuten en Verheid aan elkaar gelijk, hoe dichter bij de Noordpool of de Zuidpool hoe groter het verschil. Door het toepassen van de cosinus kunnen de Verheid in Zeemijlen en het Lengteverschil in boogminuten berekend worden, uitgaande van de breedte, de parallel waarlangs gevaren wordt met een koers van 90° (oostwaarts) of 270° (westwaarts).

Verheid AB in Zeemijlen = Lverschil in ‘ * cos breedte °’ * 60
Loxodrome koersen van oost naar west of tegengesteld, 90° en 270°

In formules:

Parallelminuten = Verheid / cosinus breedte
Lengteverschil AB = Verheid /cos b°
Verheid = cosinus Breedte * Parallelminuten
Verheid = Lengteverschil AB * cos b°

Sinus, Cosinus, Tangens tabel, bruikbaar bij astronomische – en kustnavigatie.

Voorbeeldberekening A, Verheid

We bevinden ons op 52°37’NB en varen koers 90°
We varen van 5°25’OL (A)  naar 5°37’OL (B)

Uitwerking:

AB = 5°37OL – 5°25’OL
AB = 12’

Verheid AB = (cosinus 52°37’) * 0°12’
Verheid AB = (0,607) * 0°12’
Verheid AB = 36,42 * 0°12’
Verheid AB = 0°7’17” (calculator)

17/60=0,28
Verheid AB = 7,28 Zeemijl

Voorbeeldberekening B, Parallelminuten

We bevinden ons op 52°39’ NB 5°35’ OL (Haven van Urk)
We gaan koers 270° voorliggen, gedurende 1,5 uur SOG (Vaart over de Grond) 5 Knopen

Wat zal de DR (Dead Reckoning) ofwel het gegist bestek zijn?

Oplossing

Verheid AB = 1,5 uur * 5 Knopen = 7,5 Zeemijl

Verheid AB = cosinus breedte * Parallelminuten
7,5 Zm = 60*cosinus 52°39’ * Parallelminuten

Lengteverschil AB= Verheid AB / cos 52°39’
Lengteverschil AB = 7,5 / cos 52°39’
Lengteverschil AB = 7,5 / 0,607
Lengteverschil AB = 0°12’

Parallelminuten = 0°12’ westelijker

DR (Gegist bestek) = 52°39’NB en (5°35’OL – 0°12’)
DR (Gegist bestek) = 52°39’NB en 5°23’OL

Grootcirkel (orthodroom)navigatie

Een grootcirkel ook wel orthodroom genoemd is een cirkel op een bolvorm waarvan het middelpunt, de straal en de diameter van de cirkel door het middelpunt van de bolvorm gaan. De evenaar of equator van de aarde is zo’n grootcirkel, alle andere parallellen rond de aarde zijn kleincirkels, de straal en de diameter van deze kleincirkels snijden wel de aardas maar gaan niet tot het middelpunt van de aarde. De straal en de diameter van alle andere grootcirkels niet parallel aan de evenaar snijden wel het middelpunt van de aarde. Wanneer een grootcirkel twee punten op aarde verbindt is dat de kortste afstand, in nautisch jargon ‘verheid’ genoemd. Deze is in verheid (afstand) geringer dan een ‘loxodroomkoers’ die op een kaart volgens de Mercatorprojectie recht loopt maar op een bolvorm als een gebogen lijn. De kortere verheid van de grootcirkel (orthodroom) ten opzichte van de loxodroom geniet de voorkeur bij het oversteken van een oceaan. Tenzij zich omstandigheden voordoen zoals gebieden met ijsbergen, stormen en stromingen.

De omvang in Verheid van de (rode) grootcirkel komt overeen met de omvang in Verheid van de evenaar. Het middelpunt van de grootcirkel snijdt door het middelpunt Mp van de aarde.

Vertex

Onder de ‘Vertex’ wordt verstaan de positie waar de grootcirkel of orthodroom de grootste breedtegraad doorloopt, hetzij noordelijk, hetzij zuidelijk. Op dit traject van de grootcirkel is de koers of 90° (koers oost) of 270° (koers west). Na het bereiken van de ‘Vertex’ beweegt zich de grootcirkel zich weer van de hogere breedten (noorderbreedte of zuiderbreedte) vandaan naar de lagere breedten dichter bij de evenaar gelegen.

Verheden en koersen langs een grootcirkel

Op de evenaar als zijnde een grootcirkel en over een meridiaan als zijnde een halve grootcirkel komen zoals eerder werd uiteengezet de boogminuten overeen met Zeemijlen. Het breedteverschil in boogminuten van tussen (zie tekening bij Loxodrome koersen) positie A en een positie A’ of A” wanneer deze gelegen zijn op dezelfde meridiaan komt overeen met de verheid in Zeemijlen. Het lengteverschil in boogminuten tussen posities A en B beide gelegen op de evenaar komt ook overeen met de verheid in het aantal Zeemijlen. Bij een willekeurige grootcirkel (en alleen bij grootcirkels, niet bij kleincirkels!) rondom de aarde gaat dit beginsel ook op: een boogminuut van een willekeurige grootcirkel of een deel daarvan komt overeen met een Zeemijl op deze grootcirkel.

De cosinusregel bij bolvormige driehoeken

Door middel van de cosinusregel bij bolvormige driehoeken kunnen zowel de Verheid tussen de coördinaten van A en B als de Vertrekkoers vanuit een genoemde coördinaat worden vastgesteld. Bij de berekening van de Verheid van A naar B wordt er een boldriehoek geconstrueerd tussen Pn of Pz en de coördinaten A en B. De geconstrueerde boldriehoek wordt ook gebruikt bij de berekening van de Vertrekkoers, waarbij de cosinus van hoek K (Krs of Ware Koers) de te bereken waarde is.

cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A

cos Vgrc = cos APn * cos BPn + sin APn * sin BPn * cos Pn°
cos Vgrc = cos (90°-bA°) * cos (90°-bB°) + sin (90°-bB°)* sin (90°-bB°)*cos Pn°
cos Vgrc= cos(90°-bA°) * cos(90°-bB°) + sin(90°-bB°) * sin(90°-bB°) *cos (lA°+lB°)

Voor het berekenen van de Verheid, de af te leggen afstand langs een grootcirkel, wordt een boldriehoek met een Pool gevormd, in deze voorstelling met Pn.

cos Vgrc = cos (90°-bA°) * cos (90°-bB°) + sin (90°-bA°)* sin (90°-bB°)* cos Pn°

Gegeven:

Reykjavik, IJsland, 64°8′NB, 21°56′WL
Bergen, Noorwegen, 60°23’NB, 5°19’OL

Gevraagd: Afstand (Verheid) langs een grootcirkel.

Oplossing:

A = 60°23’NB, 5°19’OL (Bergen)
B = 64°8′NB, 21°56′WL (Reykjavik)

cos Vgrc = cos(90°-bA°) * cos(90°-bB°) + sin(90°-bB°)* sin(90°-bA°)*cos(lA°+lB°)
cos Vgrc = cos(90°-64°8′)* cos(90°-60°23′) + sin(90°-60°23′)*sin(90°-64°8′)*cos(21°56′+5°19′)
cos Vgrc = cos 25°52’ * cos 29°37’ + sin 29°37’ * sin 25°52’ * cos 27°15’
cos Vgrc = 0,899811747 * 0,86935121 + 0,494194771 * 0,436278373 * 0,889017141
cos Vgrc = 0,782252431 + 0,191677865
cos Vgrc = 0,973930296
Vgrc = 13.11154037*60 =786,69 Zeemijl

Gevraagd: Koers bij vertrek uit Bergen

Voor het berekenen van de Vertrekkoers langs een grootcirkel wordt een boldriehoek gevormd om hoek K te berekenen.

Cosinusregel bij boldriehoeken: cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A

cos BPn = cos Vgrc AB * cos APn + sin Vgrc AB * sin APn * cos Krs

cos(90° – 64°8’) = cos(13.11154037)*cos(90°-60°23’) + sin(13,11154037)*sin(90°-60°23’)*cos Krs
cos 25°52’ = cos 0,973930296 * cos 29°37’ + 0,226847478 * sin 29°23’ * cos Krs
0,899811747 = 0,973930296 * 0,86935121 + 0,22684748 * 0,490650307 * cos Krs
0,899811747 = 0,846687471 + 0,111302785 * cos Krs
0,899811747 – 0,846687471 = 0,111302785 * cos Krs
0,053124276 = 0,11130278 * cos Krs
cos Krs = 0,053124276 / 0,11130278
cos Krs = 0,47729514
Krs = 61,49110815

Ware koers bij vertrek uit Bergen (Noorwegen) naar Reykjavik (IJsland)
langs een grootcirkel: 360° – 61,49° = 298,5°

Verheid langs grootcirkel van Bergen naar Reykjavik
786,69 Zeemijl (Casio fx-82MS calculator)
volgens Leica MK9 GPS 787 Zeemijl

Bij de instelling ‘loxodroomkoers’ duidt de GPS aan 793 Zeemijl.

Verheid berekenen met de cosinusregel voor boldriehoeken en controleren met de GPS ingesteld op ‘grootcirkel’.

Gegeven:

Horta op de Azoren, 38°32’NB 28°38’WL
Brest, Frankrijk, 48°23′NB 4°29′WL

Gevraagd: Verheid Vertrekkoers langs grootcirkel

Oplossingen:

48°23′NB 4°29′WL Brest
38°32’NB 28°38’WL Azoren

cos Vgrc = cos(90°-bA°) * cos(90°-48°23′) + sin(90°-bB°)* sin(90°-bA°)*cos (lA°+lB°)
cos Vgrc = cos(90°-38°32′)*cos(90°-48°23′) + sin(90°-48°23′)*sin(90°-38°32′)* cos(28°38′-4°29′)
cos Vgrc = cos 51°28’ *cos 41°37’ + sin 41°37’ * sin 51°28’* cos 24°9’
cos Vgrc = 0,622969834 *0,74760493 + 0,66414371 * 0,78224586 * 0,912477494
cos Vgrc = 0,465735319 + 0,474053654
cos Vgrc = 0,93978873
Vgrc = 19,98389341*60 =1199,03 Zeemijl

cos BPn = cos Vgrc AB * cos APn + sin Vgrc AB * sin APn * cos Krs

cos (90°-38°32′)= cos 19,9839341 * cos (90°-48°23′) + sin 19,9839341 * sin (90°-48°23′) * cos Krs
cos 51°28′ = cos 19,9839341 * cos 41°37′ + sin 19,9839341  * sin 41°37′ * cos Krs
0,622969834 = 0,939788487 * 0,74760493 + 0,341756637 * 0,66414371 * cos Krs
0,622969834 = 0,702590506 + 0,66414371 * cos Krs
0,622969834 – 0,702590506 = 0,66414371 * cos Krs
-0.079620672 = 0,66414371 * cos K
cos Krs = -0.079620672 / 0,66414371
cos Krs = -0,119884703
Krs = 96,88544856

Ware koers bij vertrek uit Brest (Frankrijk) naar Horta (Portugal)
langs een grootcirkel: 360° – 96,89° = 236,1°

Gegeven:
A, Lerwick, 60°9’NB 1°9’WL
B, Newfoundland, 48°33′NB 55°46′WL

Gevraagd: Verheid en Vertrekkoers

Uitwerking van de Verheid

Voor het berekenen van de Vertrekkoers bij A langs een grootcirkel wordt een boldriehoek gevormd om hoek K te berekenen.

cos Vgrc = cos(90°-bA°) * cos(90°-bB°)+ sin(90°-bB°)* sin(90°-bA°)*cos (lA°+lB°)
cos Vgrc = cos(90°-60°9’)*cos(90°-48°33′)+sin(90°-48°33′)*sin(90°-60°9’*cos(55°46’-1°9’)
cos Vgrc = cos 29°51’ *cos 41°27’ + sin 41°27’ * sin 29°51’ * cos 54°37’
cos Vgrc = 0,867331431 *0,74953368 + 0,661966208 *0,497731039*0,579044036
cos Vgrc = 0,650094119 + 0,190784082
cos Vgrc = 0,840878201
Vgrc = 32,76702801*60 =1966,02 Zeemijl

Uitwerking van de Vertrekkoers

cos BPn = cos Vgrc AB * cos APn + sin Vgrc * sin APn * cos Krs

cos (90°-48°33′) = cos 32,76702801*cos (90°-60°9′)+sin 32,76702801*sin  (90°-60°9′) * cos Krs
cos 41°27’=cos 32,76702801*cos 29°51′ + sin 32,76702801 * sin 29°51′ * cos Krs
0,74953368 = 0,840878201* 0,867331431+0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
0,74953368 =0,729320093 + 0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
0,74953368 – 0,729320093 = 0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
0,0020213587 = 0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
cos Krs =0,0020213587 / 0,497731039
cos Krs = 0,040611465
Krs = 85,31985149

Ware Koers bij vertrek uit Lerwick (Groot Brittanië) naar Newfoundland (Canada)
langs een grootcirkel : 360° – 85,3° = 274.7°

Uitwerking van de Aankomstkoers

cos APn = cos Vgrc AB * cos BPn + sin Vgrc * sin BPn * cos Krs B

cos (90°-60°9′)=cos 32,76702801*cos (90°-48°33′)+sin 32,76702801*sin (90°-48°33′)*cos KRS B
cos 25°51’= cos 32,76702801 * cos 41°27′ + sin 32,76702801 * sin 41°27′ * cos Krs B
0,899938617 = 0,840878201 * 0,74953368 + 0,541224399 * 0,661966208 * cos krs B
0,899938617 = 0,630266532 + 0,358272217* cos Krs B
0,899938617 – 0,630266532 = 0,358272217* cos Krs B
0,269672085 = 0,358272217 * cos Krs B
cos Krs B = 0,269672085 / 0,358272217
cos Krs B = 0,752701639
Krs B = 41,17

Ware Aankomstkoers bij B = 41,2° + 180° = 221,2°

Berekenen van de Aankomstkoers bij B langs een grootcirkel.

Naslagwerken: Wiskunde

Haversine Methode Afstanden op aarde

Zo ver het oosten is van het westen,
zo ver heeft Hij onze zonden van ons verwijderd.
Zo liefdevol als een vader is voor zijn kinderen,
zo liefdevol is de HEER voor wie Hem vrezen.’

PS 103

Disclaimer De bovenstaande uitleg en benaderingen zijn zo betrouwbaar mogelijk uitgelegd maar geven geen garantie op een veilige navigatie ter land, ter zee of in de lucht of het slagen voor een examen. Het bovenstaande is uitsluitend bedoeld om het begrip van en de belangstelling voor de navigatie te verbreden.

Sluit Menu