NAVIGEREN, Koersen & Peilen

Zichtbaarheid

Vuurtoren van Urk

Coördinaten vuurtoren Urk: 52°40′N 5°36′ O
Hoogte boven zeeniveau: 27 meter
Lichtkarakter: Flash wit  5 seconde
Nominale dracht 18 Zeemijl
Lichtsterkte 40.000 Candela
Draaiend fresnel optiek
Bouwjaar: 1844

Geografische zichtbaarheid

Geografische zichtbaarheid, afhankelijk van hoogte van het object en de ooghoogte van de waarnemer.
Lichtschip ‘Vessel 11’, een van oorsprong Brits lichtschip uit 1951, gebouwd als Lightvessel 11 en gebouwd in Dartmouth (UK) om dienst te doen als als vuurtoren op zee aan de zuidkust van Wales.

Geografische dracht

De waarneembaarheid van een licht is afhankelijk van meerdere factoren: de helderheid van de atmosfeer, de hoogte van het licht boven het gekromde aardoppervlak en de ooghoogte van de waarnemer. Om te komen tot een Geografische dracht van een licht kan de volgende tabel worden gebruikt. De Geografische dracht gaat niet uit van de sterkte van het licht of de atmosferische toestand, maar staat voor de maximale afstand waarover een licht in een rechte lijn een waarnemer kan bereiken, uitgaande van de hoogte van het licht boven het aardoppervlak en de ooghoogte van de waarnemer.

DEFINITIE GEOGRAFISCHE DRACHT De geografische dracht is de afstand waarop een licht voor een waarnemer op de kim zichtbaar wordt.

Voor de berekening van de geografische dracht wordt de volgende formule gehanteerd: Verheid = 2,02 *(√H + √h) met zowel de hoogte van het licht als van de waarnemer in meters. De uitkomst wordt weergegeven in Zeemijlen.

Vuurtoren Urk, Noordoostpolder

De vuurtoren van Urk heeft een hoogte boven zeeniveau van 27 meter. De ooghoogte van een waarnemer aan boord van een zeiljacht bevindt zich op 2 meter. Wanneer komt varende vanuit westelijke richting de vuurtoren van Urk in zicht?

Verheid M = 2.02 * (√H + √h)
Verheid M = 2,02 * (√27 + √2)
Verheid M = 2,02 * (5,196 + 1,414)
Verheid M = 13,35 Zmijl

Vuurtoren Brandaris, West-Terschelling

Hoogte boven zeeniveau van de Brandaris is 55 meter, we bevinden ons aan boord van een zeiljacht, ooghoogte 2 meter boven het wateroppervlak.

Verheid M = 2.02 * (√H + √h)
Verheid M = 2,02 * (√55 + √2)
Verheid M = 2,02 * (7,416 + 1,414)
Verheid M = 17,83 Zmijl

Stel, we bevinden ons aan boord van een zeeschip, met het stuurhuis op 15 meter boven het wateroppervlak.

Verheid M = 2.02 * (√H + √h)
Verheid M = 2,02 * (√55 + √15)
Verheid M = 2,02 * (7,416 + 3,872)
Verheid M = 22,80 Zmijl

Nominale dracht

Onder de Nominale dracht van het licht wordt verstaan de afstand waarop het licht waargenomen kan worden bij een Meteorologisch zicht van 10 Zeemijl. Maar dit vraagt een toelichting: Het Meteorologisch zicht betekent dat een voldoende groot zwart voorwerp tegen de achtergrond van een heldere atmosfeer op een afstand van 10 Zeemijl door een waarnemer is te zien of te herkennen. Deze definitie van het  Meteorologische zicht wordt dus beïnvloed door neerslag, waterdamp en fijnstof in de atmosfeer. Ook wordt niet omschreven hoe groot het zwarte waarneembare voorwerp is of aan welk gezichtsvermogen de menselijk waarnemer moet voldoen. Onder het Meteorologische zicht wordt daarom niet uitgegaan van een individuele waarneming maar van meetinstrumenten. Wanneer een licht een Nominale dracht heeft van 18 Zeemijl, dan is er sprake van een waarneembaarheid van het licht op een afstand van 18 Zeemijl bij een Meteorologisch zicht van 10 Zeemijl.

DEFINITIE NOMINALE DRACHT De nominale dracht van een licht is de horizontale waarneembaarheid bij een meteorologisch zicht van 10 Zeemijl.

Fresnellens van de Vuurtoren van Urk

Varen en navigeren op het kompas

Wanneer de omgeving voor het merendeel uit een lege wateroppervlakte bestaat en landmerken en betonning ontbreekt is het kompas een basaal navigatieinstrument. Door het aanhouden van een bepaalde graad of windstreek op de kompasroos zal er een rechte lijn worden gevaren, invloeden van buitenaf zoals wind en stroom buiten beschouwing gelaten. Wanneer er kompaspeilingen gemaakt worden op twee of drie bekende vaste punten aan land of in zee kan met behulp van het kompas plaats worden bepaald.

Stuurwiel en stuurkompas van de Willem Barentsz. De weekijzeren bollen (groen en rood) aan weerszijde zijn bedoeld om de deviatie te compenseren.Ook in de houten console kunnen compensatiemagneten worden geplaatst.

De werking van het kompas

Rondom de aarde bevindt zich een magnetisch veld, het aardmagnetisme net als bij iedere magneet met een noordpool en een zuidpool. Dit aardmagnetisme ontstaat door een vloeibare ijzeren kern in de aarde. Het aardmagnetisme beschermt het leven aan de oppervlakte van de aarde tegen zonnestralen die door de atmosfeer binnendringen en zijn de oorzaak van het noorderlicht. De aarde heeft dus een magnetische noordpool en een magnetische zuidpool. Waarmee er een eerste misverstand is: een magnetische noordpool trekt een magnetische zuidpool aan en ook omgekeerd. Twee zuidpolen stoten elkaar af, evenals twee noordpolen. De geografische Noordpool van de aarde is feitelijk de magnetische zuidpool van de aarde. De magnetische Noordpool bevindt zich bij Antarctica. Ondanks dit natuurkundige gegeven laten we het magnetische kompas door middel van magneetnaalden het noorden aanwijzen om daar de overige windstreken van af te leiden.

Samenstelling van het kompas

Een moderne magnetisch kompas werkt op basis van magneetnaalden die zich richten naar het aardmagnetisme. De magneetnaalden zijn bevestigd aan de kompasroos, welke rust op kompasnaald of kompasnaald. De kwalitatief betere kompassen laten de windroos rusten met een diamant- of saffier op een hardstenen punt om een geringe wrijving en slijtage en een lange levensduur van het kompas te bereiken. De kompasroos drijft in een vloeistof die niet bevriezen kan om de kompasroos rustig te laten bewegen. De kompasroos kan uitgerust zijn met drijflichamen om de druk op de kompaspen of – naald te verminderen. Aangezien er geen luchtbellen in het kompas horen te zijn en vloeistof niet samendrukbaar is maar wel veranderlijk is qua volume bij verschillende temperaturen is het kompas van een balg of membraan voorzien om de volumeverschillen op te vangen. Aan boord van schepen en vliegtuigen worden kompassen voorzien van een cardanische ophanging om de kompasnaald zo verticaal mogelijk te laten zijn. Deze cardanische ophanging bevindt zich soms inwendig zoals bij het bolkompas, of uitwendig door middel van langsscheepse- en dwarsscheepse draaipunten.

Silva 102B/H schotkompas / stuurkompas. De drie ‘zeilstrepen’ zijn behulpzaam om het kompas vanuit verschillende inzichten af te lezen. Voor het varen in het donker is het kompas voorzien van verlichting. Iedere streep op de kompasroos duidt 5° aan, iedere grote streep 10°. Zo ook met de ‘clinometer’ ofwel ‘hellingmeter’ onder het kompas.
Windroos in zeekaart getekend

Kompasroos en windroos

De kompasroos is verdeeld in 360°. Normaliter worden koersen en peilingen daarin weergegeven. Maar bij windrichtingen en bij de aanduidingen van hoge en lagedrukgebieden in weerkaarten en weerberichten worden de windstreken gebruikt, bijvoorbeeld ‘een lagedrukgebied ten oosten van Schotland’ of ‘een stormachtige zuidwesten wind’. Of zoals ook in het scheepvaartverkeer, waar gezegd kan worden: ‘wij liggen aan de zuidzijde van de sluis’. Ook kardinale betonning duidt aan ‘aan de noord, oost, zuid of westzijde te passeren’. Maar peilingen en koersen worden in graden uitgedrukt vanwege de grotere nauwkeurigheid.

Onderverdeling van de kompas- of windstreken

Windroos onderverdeeld in hoofdstreken, hoofdtussenstreken en tussenstreken. De bijstreken zijn achterwege gelaten.

Hoofdstreken
Noord, Oost, Zuid, West

Hoofdtussenstreken
Noordoost, Zuidoost, Zuidwest, Noordwest

Tussenstreken
Noordnoordoost, Oostnoordoost, Oostzuidoost, Zuidzuidoost,
Zuidzuidwest, Westzuidwest, Westnoordwest, Noordnoordwest

Bijstreken

Noord ten oosten, Noordoost ten noorden, Noordoost ten oosten, Oost ten noorden,
Oost tennzuiden, Zuidoost ten oosten, Zuidoost ten zuiden, Zuid ten oosten,
Zuid ten westen, Zuidwest ten zuiden, Zuidwest ten westen, West ten zuiden,
West ten noorden, Noordwest ten westen, Noordwest ten noorden, Noord ten westen.

Kaartroos

Variatie van het aardmagnetisme, het Magnetische noorden

Zoals eerder gezegd ontstaat het aardmagnetisme door een vloeibare ijzeren kern in de aardbol. Dit heeft als bijwerking dat de ligging van magnetische noord- en zuidpool aan verandering onderhevig is, als gevolg van meerdere factoren. De aardbol draait om de aardas, de maan met aantrekkingskracht draait om de aarde, de aarde en de maan bewegen zich rond de zon, evenals meerdere planeten. Daarbij slingert de denkbeeldige aardas ook wat, en versnellen en vertragen de diverse hemellichamen en de aarde zelf ook wat. Allemaal invloeden op de vloeibare en daarmee beweeglijke ijzerkern in de aardbol.

De verandering van het aardmagnetisme en de richting van de magnetische banen die getrokken worden van de noord- naar de zuidpool noemen we de ‘variatie’. Het aantal graden verschil tussen de magnetische en geografische Noordpool. Tientallen jaren is de variatie voor Nederland westelijk geweest, de magnetische Noordpool, lag westelijk van de geografische Noordpool: maar sinds het jaartal 2014 is de variatie voor Nederland en omstreken oostelijk. Hoe groter de variatie, met andere woorden de miswijzing als gevolg van de verschuiving van het magnetische noorden, hoe meer bij de navigatie rekening te houden met het verschil tussen het magnetische – en het geografische noorden.

Jaarlijkse Verandering van de Variatie

De Variatie wordt in de kaartroos van zeekaarten weergegeven, met daarbij de grootte in boogminuten en de richting van de jaarlijkse verandering.

Ware Noorden en Magnetische Noorden

Ware Noorden en Magnetische Noorden

Het Ware Noorden duidt de geografische positie aan van de plaats op aarde waar de meridianen samenkomen en waar de denkbeeldige aardas het aardoppervlak snijdt. Het Magnetische Noorden is daar waar zich de magnetische Noordpool van de aarde zich bevindt. De Magnetische Noordpool heeft anders dan de Ware Noordpool een variabele ligging.

Ware Noorden en Ware Koers

Ware Noorden, Ware Koers en Ware Peiling

De Ware Koers of de Ware Peiling is die richting in booggraden gemeten naar de Ware Noordpool, in een boog van minimaal 0° en maximaal 360°.

Miswijzing door deviatie, het Kompasnoorden

Een tweede belangrijke oorzaak van de miswijzing van het magnetische kompas ontstaat door het aanwezige scheepsmagnetisme en ijzer aan boord, de deviatie genoemd. Dat een ijzeren schip invloed uitoefent op het kompas spreekt voor zich, maar ook metalen op een houten of polyester boot zijn van invloed. Denk aan een gietijzeren kiel, de scheepsmotor en elektromagnetisme aan boord. Berucht zijn de sleutelbos of het zakmes opgeborgen in de buurt van het magnetische kompas. De deviatie kan worden verkleind door het aanbrengen of verstellen van deviatiemagneten door een kompassteller. Uiteindelijk kunnen de afwijkingen op de verschillende kompaskoersen aangetekend worden in de deviatietabel, met waarden die te verrekenen zijn bij het uitzetten van koersen en nemen van peilingen.

Magnetische Noorden en Kompasnoorden
Miswijzing, Deviatie en variatie

Miswijzing

De Variatie en de Deviatie samen wordt genoemd de Miswijzing. De Miswijzing kan op 0° uitkomen, zoals in de situatie bij (bijvoorbeeld) een westelijke Variatie die even groot is als een + Deviatie. Aangezien de Deviatie afhankelijk is van de voorliggende koers van het schip dient de Miswijzing bij iedere koerswijziging opnieuw verrekend te worden. Op grote trajecten zoals bij oceaanreizen geldt dit ook voor de Variatie.

Magnetische Noorden en Magnetische Koers

Kompasnoorden, Magnetische Koers of Magnetische Peiling

Wanneer er geen sprake is van magnetische velden die het kompas beïnvloeden wijst een zuiver kompas het Magnetische Noorden aan of wordt er een Magnetische Peiling genomen. Het kompas wijst het Magnetische Noorden aan. Waarmee er gerekend kan worden met het Kompasnoorden.

Kompasnoorden en Kompaskoers

Kompaskoers

De Kompaskoers en de Kompaspeiling verhouden zich tot het Kompasnoorden, de richting aangewezen door het kompas beïnvloed door de Variatie, de Deviatie en de daaruit volgende Miswijzing. Wanneer een Ware Koers of een Ware Peiling bepaald is in de zeekaart, behoren we de Variatie en de Deviatie samengevat in de Miswijzing te verrekenen naar een Kompaskoers. Andersom behoren we een Kompaskoers of een Kompaspeiling te verrekenen naar een Ware Koers of een Ware Peiling.

Samengevat: De Variatie is afhankelijk van de plaats op aarde en de kaartdatering.
Samengevat: De deviatie is afhankelijk van het scheepsmagnetisme en de voorliggende koers.

Deviatietafel, links in tabelvorm, rechts is grafiekvorm.

Link naar een Deviatietabel

Van kompas naar kaart en andersom

Definities

Ware noorden:
De richting van de geografische Noordpool, waar de meridianen samenkomen.
Ware koers:
De hoek in booggraden tussen het Ware noorden en de uitgezette-/voorliggende koers.
Magnetische noorden:
De richting waar de magnetische veldlijnen rond de aarde samenkomen.
Variatie:
De hoek in booggraden tussen het Ware noorden en het Magnetische noorden als gevolg van het variabele Aardmagnetisme en de invloed van hemellichamen.
Kompasnoorden:
Het noorden zoals door het magnetisch kompas wordt aangewezen.
Kompaskoers:
De richting welke op het magnetische kompas wordt afgelezen of is berekend.
Deviatie:
De hoek in booggraden tussen het Magnetische noorden en het Kompasnoorden als gevolg van het scheepsmagnetisme.
Miswijzing:
De som en het verschil van de Variatie en de Deviatie bij elkaar verrekend.
Grondkoers:
De richting die een schip gedurende de vaart ‘over de Aarde’ uitgaat, als gevolg van wind en stroom.
Drift:
De hoek in booggraden tussen het vlak van kiel en stevens en de Behouden Ware Koers
veroorzaakt door de invloed van de wind.
Stroomverzet:
De hoek in booggraden tussen het vlak van kiel en stevens en de Ware koers
veroorzaakt door de stroomrichting van het water.
Behouden Ware Koers
De hoek tussen de het Ware Noorden en de koers door het water na de verrekening van de drift.

Drift

Wanneer een schip een koers vaart met de wind schuin van achteren, dwars op of schuin van voren, zullen alle schepen in meer of mindere mate naar de omstandigheden zijdelings worden weggezet. Een motorschip zal meer ‘verlijeren’ dan een zeilschip, maar ook een zeilschip ondervind drift. Een ongeladen vrachtschip met weinig diepgang en veel windvang zal meer zijdelings worden weggezet dan een diep geladen ingezonken schip. Zo zal ook een platbodem met opgehaalde zijzwaarden meer drift ondervinden dan een modern zeiljacht met een diepstekende kiel. Zoals ook de windkracht meer of minder drift zal veroorzaken.

Drifthoek

De drift is op verschillende manieren waar te nemen. Achterwaarts kijkende kan gezien worden dat het kielzog en schroefwater schuin en zijdelings onder het achterschip vandaan lijkt te komen. Varende op het kompas en de beschikking hebbende over een GPS kunnen er koersen met een paar graden verschil worden afgelezen. Op stilstaand water lezen we hier de ‘drifthoek’ af: het magnetische kompas duidt de kompaskoers aan, de GPS de ‘koers over de grond’ ofwel de COG aan. De drifthoek is het verschil tussen de kompaskoers en de hoek tussen het vlak van kiel en stevens ofwel de koers door het water. De drifthoek is af te lezen op de GPS en het verschil tussen de kompaskoers en de koers over de grond op niet stromend water. In de praktijk wordt de drifthoek geschat of opgemaakt uit ervaring, de drifthoek is ook te meten door een lijn achter het schip aan te slepen over een gradenboog heen. Een drifthoek van 3° a 5° is reëel bij weinig drift, bij een leeg binnenvaartschip dwars op de wind is een drifthoek van 10° a 15° denkbaar.

Behouden Ware Koers = Ware Koers + Drifthoek
BWK = Wk + drift

Wanneer er een berekende Kompaskoers gevaren dient te worden om een koers te behouden of een doel te bereiken, en er blijkt sprake te zijn van ‘verlijering’ of ‘drift’, dan zal deze ‘drifthoek’ gecompenseerd moeten worden door ‘opsturen’. Na de toevoeging van de de drifthoek aan de berekening van de te sturen kompaskoers spreken we van een ‘Behouden Ware Koers’.

Stroomhoek

Op stromend water dat bij een varend schip schuin van achteren, zijdelings of schuin van voren inkomt is er sprake van stroomverzet, te verrekenen als de Stroomhoek. Ook deze kan verrekend worden vergelijkbaar met de verrekening van de drift door de wind. Het Stroomverzet kan niet gezien worden in het kielzog of het schroefwater zoals bij drift, want het omringende water van het schip beweegt met het schip mee. Het stroomverzet kan wel worden waargenomen door de kompaskoers te vergelijken met de koers over de grond (de grondkoers). Het Stroomverzet kan ook worden waargenomen door de koers van het schip te vergelijken ten opzichte van vaste punten aan de wal of in het water. Een geankerde boei kan in deze ook opgemerkt worden als een vast punt waaraan het Stroomverzet kan worden opgemerkt.

Grondkoers = Behouden Ware Koers + Stroomhoek

Loxodroom navigatie

Koersen die zich ‘loxodroom’ vervolgen zijn koersen waarbij voortdurend dezelfde kompaskoers wordt aangehouden, vanaf en op weg naar posities op aarde. De hoek tussen de meridianen en de koerslijn is bij ‘loxodrome koersen’ bij iedere meridiaan gelijk.  ‘Loxodrome koersen’ lijken rechtlijnig te zijn vanwege deze consequente hoek tussen de meridianen en de paralellen, maar in werkelijkheid, vanwege de bolvorm van de aarde, is er sprake van een spiraalvormige koerslijn. ‘Loxodroom’ betekent vertaald ‘schuine loop’, duidende op de schuine hoek tussen de koerslijn en de parallellen of meridianen.

Noord-Zuid en Zuid-Noord gerichte koersen (0° en 180°)

Bij koersen recht naar het noorden en zuiden gerichte koersen (0° en 180°) (koers die een meridiaan volgen) komen de boogminuten overeen met de afgelegde Zeemijlen, welke afgelezen kunnen worden op de staande (verticale) kaartrand van de zeekaart. Ter illustratie: varende van bijvoorbeeld 52°39’ noorderbreedte naar en 52°59’ noorderbreedte met koers 0° legt men 59’ – 39’ = 25’ = 20 Zeemijl af. Varende van 35°34’ Noorderbreedte naar 12°27’ Zuiderbreedte met koers 180° wordt er 48°1’ afgelegd, 48°1’*60=2881’ is gelijk aan 2881 Zeemijl.

Loxodrome koersen van noord naar zuid of tegengesteld, 0° en 180°

Oost-West en West-Oost gerichte (90° en 270°)

Bij koersen recht naar het westen en oosten gerichte koersen (90° en 270°) komen uitsluitend en alleen op de evenaar de boogminuten overeen met de afgelegde Zeemijlen. Op alle andere parallellen zijn de afgelegde afstanden kleiner dan het aantal boogminuten. Op de evenaar zijn de boogafstand in boogminuten en Verheid aan elkaar gelijk, hoe dichter bij de Noordpool of de Zuidpool hoe groter het verschil. Door het toepassen van de cosinus kunnen de Verheid in Zeemijlen en het Lengteverschil in boogminuten berekend worden, uitgaande van de breedte, de parallel waarlangs gevaren wordt met een koers van 90° (oostwaarts) of 270° (westwaarts).

Verheid AB in Zeemijlen = Lverschil in ‘ * cos breedte °’ * 60
Loxodrome koersen van oost naar west of tegengesteld, 90° en 270°

In formules:

Parallelminuten = Verheid / cosinus breedte
Lengteverschil AB = Verheid /cos b°
Verheid = cosinus Breedte * Parallelminuten
Verheid = Lengteverschil AB * cos b°

Sinus, Cosinus, Tangens tabel, bruikbaar bij astronomische – en kustnavigatie.

Voorbeeldberekening A, Verheid

We bevinden ons op 52°37’NB en varen koers 90°
We varen van 5°25’OL (A)  naar 5°37’OL (B)

Uitwerking:

AB = 5°37OL – 5°25’OL
AB = 12’

Verheid AB = (cosinus 52°37’) * 0°12’
Verheid AB = (0,607) * 0°12’
Verheid AB = 36,42 * 0°12’
Verheid AB = 0°7’17” (calculator)

17/60=0,28
Verheid AB = 7,28 Zeemijl

Voorbeeldberekening B, Parallelminuten

We bevinden ons op 52°39’ NB 5°35’ OL (Haven van Urk)
We gaan koers 270° voorliggen, gedurende 1,5 uur SOG (Vaart over de Grond) 5 Knopen

Wat zal de DR (Dead Reckoning) ofwel het gegist bestek zijn?

Oplossing

Verheid AB = 1,5 uur * 5 Knopen = 7,5 Zeemijl

Verheid AB = cosinus breedte * Parallelminuten
7,5 Zm = 60*cosinus 52°39’ * Parallelminuten

Lengteverschil AB= Verheid AB / cos 52°39’
Lengteverschil AB = 7,5 / cos 52°39’
Lengteverschil AB = 7,5 / 0,607
Lengteverschil AB = 0°12’

Parallelminuten = 0°12’ westelijker

DR (Gegist bestek) = 52°39’NB en (5°35’OL – 0°12’)
DR (Gegist bestek) = 52°39’NB en 5°23’OL

Grootcirkel (orthodroom)navigatie

Een grootcirkel ook wel orthodroom genoemd is een cirkel op een bolvorm waarvan het middelpunt, de straal en de diameter van de cirkel door het middelpunt van de bolvorm gaan. De evenaar of equator van de aarde is zo’n grootcirkel, alle andere parallellen rond de aarde zijn kleincirkels, de straal en de diameter van deze kleincirkels snijden wel de aardas maar gaan niet tot het middelpunt van de aarde. De straal en de diameter van alle andere grootcirkels niet parallel aan de evenaar snijden wel het middelpunt van de aarde. Wanneer een grootcirkel twee punten op aarde verbindt is dat de kortste afstand, in nautisch jargon ‘verheid’ genoemd. Deze is in verheid (afstand) geringer dan een ‘loxodroomkoers’ die op een kaart volgens de Mercatorprojectie recht loopt maar op een bolvorm als een gebogen lijn. De kortere verheid van de grootcirkel (orthodroom) ten opzichte van de loxodroom geniet de voorkeur bij het oversteken van een oceaan. Tenzij zich omstandigheden voordoen zoals gebieden met ijsbergen, stormen en stromingen.

De omvang in Verheid van de (rode) grootcirkel komt overeen met de omvang in Verheid van de evenaar. Het middelpunt van de grootcirkel snijdt door het middelpunt Mp van de aarde.

Vertex

Onder de ‘Vertex’ wordt verstaan de positie waar de grootcirkel of orthodroom de grootste breedtegraad doorloopt, hetzij noordelijk, hetzij zuidelijk. Op dit traject van de grootcirkel is de koers of 90° (koers oost) of 270° (koers west). Na het bereiken van de ‘Vertex’ beweegt zich de grootcirkel zich weer van de hogere breedten (noorderbreedte of zuiderbreedte) vandaan naar de lagere breedten dichter bij de evenaar gelegen.

Verheden en koersen langs een grootcirkel

Op de evenaar als zijnde een grootcirkel en over een meridiaan als zijnde een halve grootcirkel komen zoals eerder werd uiteengezet de boogminuten overeen met Zeemijlen. Het breedteverschil in boogminuten van tussen (zie tekening bij Loxodrome koersen) positie A en een positie A’ of A” wanneer deze gelegen zijn op dezelfde meridiaan komt overeen met de verheid in Zeemijlen. Het lengteverschil in boogminuten tussen posities A en B beide gelegen op de evenaar komt ook overeen met de verheid in het aantal Zeemijlen. Bij een willekeurige grootcirkel (en alleen bij grootcirkels, niet bij kleincirkels!) rondom de aarde gaat dit beginsel ook op: een boogminuut van een willekeurige grootcirkel of een deel daarvan komt overeen met een Zeemijl op deze grootcirkel.

De cosinusregel bij bolvormige driehoeken

Door middel van de cosinusregel bij bolvormige driehoeken kunnen zowel de Verheid tussen de coördinaten van A en B als de Vertrekkoers vanuit een genoemde coördinaat worden vastgesteld. Bij de berekening van de Verheid van A naar B wordt er een boldriehoek geconstrueerd tussen Pn of Pz en de coördinaten A en B. De geconstrueerde boldriehoek wordt ook gebruikt bij de berekening van de Vertrekkoers, waarbij de cosinus van hoek K (Krs of Ware Koers) de te bereken waarde is.

cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A°

cos Vgrc = cos APn * cos BPn + sin APn * sin BPn * cos Pn°
cos Vgrc = cos (90°-bA°) * cos (90°-bB°) + sin (90°-bA°)* sin (90°-bB°)*cos Pn°
cos Vgrc= cos(90°-bA°) * cos(90°-bB°) + sin(90°-bA°) * sin(90°-bB°) *cos (lA°+lB°)

Cosinusregel Boldriehoeken, Verheid

cos Vgrc = cos (90°-bA°) * cos (90°-bB°) + sin (90°-bA°)* sin (90°-bB°)* cos Pn°

Gegeven:

Reykjavik, IJsland, 64°8′NB, 21°56′WL
Bergen, Noorwegen, 60°23’NB, 5°19’OL

Gevraagd: Afstand (Verheid) langs een grootcirkel.

Oplossing:

A = 60°23’NB, 5°19’OL (Bergen)
B = 64°8′NB, 21°56′WL (Reykjavik)

cos Vgrc = cos(90°-bA°) * cos(90°-bB°) + sin(90°-bB°)* sin(90°-bA°)*cos(lA°+lB°)
cos Vgrc = cos(90°-64°8′)* cos(90°-60°23′) + sin(90°-60°23′)*sin(90°-64°8′)*cos(21°56′+5°19′)
cos Vgrc = cos 25°52’ * cos 29°37’ + sin 29°37’ * sin 25°52’ * cos 27°15’
cos Vgrc = 0,899811747 * 0,86935121 + 0,494194771 * 0,436278373 * 0,889017141
cos Vgrc = 0,782252431 + 0,191677865
cos Vgrc = 0,973930296
Vgrc = 13.11154037*60 =786,69 Zeemijl

Gevraagd: Koers bij vertrek uit Bergen

Grootcirkelkoers Bergen Reykjavik

Cosinusregel bij boldriehoeken: cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A°

cos BPn = cos Vgrc AB * cos APn + sin Vgrc AB * sin APn * cos Krs A

cos(90° – 64°8’) = cos(13.11154037)*cos(90°-60°23’) + sin(13,11154037)*sin(90°-60°23’)*cos Krs
cos 25°52’ = cos 0,973930296 * cos 29°37’ + 0,226847478 * sin 29°23’ * cos Krs
0,899811747 = 0,973930296 * 0,86935121 + 0,22684748 * 0,490650307 * cos Krs
0,899811747 = 0,846687471 + 0,111302785 * cos Krs
0,899811747 – 0,846687471 = 0,111302785 * cos Krs
0,053124276 = 0,11130278 * cos Krs
cos Krs = 0,053124276 / 0,11130278
cos Krs = 0,47729514
Krs = 61,49110815

Ware koers bij vertrek uit Bergen (Noorwegen) naar Reykjavik (IJsland)
langs een grootcirkel: 360° – 61,49° = 298,5°

Bergen – Reykjavik berekend met Excel

Verheid langs grootcirkel van Bergen naar Reykjavik
786,69 Zeemijl (Casio fx-82MS calculator)
volgens Leica MK9 GPS 787 Zeemijl

Bij de instelling ‘loxodroomkoers’ duidt de GPS aan 793 Zeemijl.

Verheid berekenen met de cosinusregel voor boldriehoeken en controleren met de GPS ingesteld op ‘grootcirkel’.

Gegeven:

Horta op de Azoren, 38°32’NB 28°38’WL
Brest, Frankrijk, 48°23′NB 4°29′WL

Gevraagd: Verheid en Vertrekkoers langs grootcirkel

Oplossingen:

48°23′NB 4°29′WL Brest
38°32’NB 28°38’WL Azoren

cos Vgrc = cos(90°-bA°) * cos(90°-48°23′) + sin(90°-bB°)* sin(90°-bA°)*cos (lA°+lB°)
cos Vgrc = cos(90°-38°32′)*cos(90°-48°23′) + sin(90°-48°23′)*sin(90°-38°32′)* cos(28°38′-4°29′)
cos Vgrc = cos 51°28’ *cos 41°37’ + sin 41°37’ * sin 51°28’* cos 24°9’
cos Vgrc = 0,622969834 *0,74760493 + 0,66414371 * 0,78224586 * 0,912477494
cos Vgrc = 0,465735319 + 0,474053654
cos Vgrc = 0,93978873
Vgrc = 19,98389341*60 =1199,03 Zeemijl

Cosinusregel Boldriehoeken, Koers

cos BPn = cos Vgrc AB * cos APn + sin Vgrc AB * sin APn * cos WK A°

cos (90°-38°32′)= cos 19,9839341 * cos (90°-48°23′) + sin 19,9839341 * sin (90°-48°23′) * cos Krs
cos 51°28′ = cos 19,9839341 * cos 41°37′ + sin 19,9839341  * sin 41°37′ * cos Krs
0,622969834 = 0,939788487 * 0,74760493 + 0,341756637 * 0,66414371 * cos Krs
0,622969834 = 0,702590506 + 0,22697552 * cos Krs
0,622969834 – 0,702590506 = 0,22697552 * cos Krs
-0.079620672 = 0,22697552 * cos K
cos Krs = -0.079620672 / 0,22697552
cos Krs = -0,350789688
Krs = 110,5

Ware koers bij vertrek uit Brest (Frankrijk) naar Horta (Portugal)
langs een grootcirkel: 360° – 110,5° = 249,5°

Gegeven:
A, Lerwick, 60°9’NB 1°9’WL
B, Newfoundland, 48°33′NB 55°46′WL

Gevraagd: Verheid en Vertrekkoers

Uitwerking van de Verheid

Cosinusregel Boldriehoeken Lerwick Newfoundland

cos Vgrc = cos(90°-bA°) * cos(90°-bB°)+ sin(90°-bB°)* sin(90°-bA°)*cos (lA°+lB°)
cos Vgrc = cos(90°-60°9’)*cos(90°-48°33′)+sin(90°-48°33′)*sin(90°-60°9’*cos(55°46’-1°9’)
cos Vgrc = cos 29°51’ *cos 41°27’ + sin 41°27’ * sin 29°51’ * cos 54°37’
cos Vgrc = 0,867331431 *0,74953368 + 0,661966208 *0,497731039*0,579044036
cos Vgrc = 0,650094119 + 0,190784082
cos Vgrc = 0,840878201
Vgrc = 32,76702801*60 =1966,02 Zeemijl

Uitwerking van de Vertrekkoers

cos BPn = cos Vgrc AB * cos APn + sin Vgrc * sin APn * cos WK A°

cos (90°-48°33′) = cos 32,76702801*cos (90°-60°9′)+sin 32,76702801*sin  (90°-60°9′) * cos Krs
cos 41°27’=cos 32,76702801*cos 29°51′ + sin 32,76702801 * sin 29°51′ * cos Krs
0,74953368 = 0,840878201* 0,867331431+0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
0,74953368 =0,729320093 + 0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
0,74953368 – 0,729320093 = 0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
0,0020213587 = 0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
cos Krs =0,0020213587 / 0,497731039
cos Krs = 0,040611465
Krs = 85,31985149

Ware Koers bij vertrek uit Lerwick (Groot Brittanië) naar Newfoundland (Canada)
langs een grootcirkel : 360° – 85,3° = 274.7°

Uitwerking van de Aankomstkoers

cos APn = cos Vgrc AB * cos BPn + sin Vgrc * sin BPn * cos WK B°

cos (90°-60°9′)=cos 32,76702801*cos (90°-48°33′)+sin 32,76702801*sin (90°-48°33′)*cos KRS B°
cos 25°51’= cos 32,76702801 * cos 41°27′ + sin 32,76702801 * sin 41°27′ * cos Krs B
0,899938617 = 0,840878201 * 0,74953368 + 0,541224399 * 0,661966208 * cos krs B
0,899938617 = 0,630266532 + 0,358272217* cos Krs B
0,899938617 – 0,630266532 = 0,358272217* cos Krs B
0,269672085 = 0,358272217 * cos Krs B
cos Krs B = 0,269672085 / 0,358272217
cos Krs B = 0,752701639
Krs B = 41,17

Ware Aankomstkoers bij B = 41,2° + 180° = 221,2°

Cosinusregel Boldriehoeken Newfoundland Lerwick

Vertrekkoers Lerwick: 274,7°
Aankomstkoers Newfoundland 221,2°
Koersverschil Vertrek en Aankomst = 274,7° – 221.2° = 53,5°

Verheid Lerwick – Newfoundland 1966,02 Zeemijl
Vaart schip gemiddeld 12 Knoop
Dagafstand schip 12 Knoop * 24 uur = 288 Zeemijl/etmaal
Vaartijd 1966,02 / 12 = 163,8 uur / 24 = 6,82 etmaal (afgerond 7 dagen).

koersverschil Vertrek en aankomst = 53,5° / 6 = 8,9° koersverschil/etmaal
ofwel afgerond 9° koersverschil/deeltraject van 280 Zeemijl

Lerwick – Newfoundland berekend met Excel

Eenmaal per etmaal (bijvoorbeeld 12.00 UTC) wordt de koers 9° zuidelijker verlegd,
ofwel iedere (afgerond) 280 Zeemijl wordt de koers 9° zuidelijker verlegd.

Grootcirkelkoers Lerwich – Newfoundland

Zo ver het oosten is van het westen,
zo ver heeft Hij onze zonden van ons verwijderd.
Zo liefdevol als een vader is voor zijn kinderen,
zo liefdevol is de HEER voor wie Hem vrezen.’

PS 103

Disclaimer De bovenstaande uitleg en benaderingen zijn zo betrouwbaar mogelijk uitgelegd maar geven geen garantie op een veilige navigatie ter land, ter zee of in de lucht of het slagen voor een examen. Het bovenstaande is uitsluitend bedoeld om het begrip van en de belangstelling voor de navigatie te verbreden.

Sluit Menu