NAVIGATIE

Loxodrome koersen (koersen 0° of 180°) ofwel Noord-Zuid o.a.

De meridianen rond de aardbol bestaan uit grootcirkels, gevormd door een meridiaan die loopt van de Noordpool naar de Zuidpool en diens meridiaan in het verlengde daarvan. Van de parallellen vormt uitsluitend de Evenaar ofwel de Equator een Grootcirkel. Alle andere parallellen gelegen tussen de Noordpool en de Equator en de Zuidpool en Equator zijn afstand korter, zijn geen Grootcirkels.

De afstanden over de meridianen in boogminuten komen overeen met de afstanden in Zeemijlen. Zie de uitleg daarvan bij het coördinatenstelsel. Ook op de Equator ofwel de Evenaar komen boogminuten en Zeemijlen overeen. Koersende langs andere parallellen gaat dit niet op. Hoe dichter bij de Polen of hoe verder bij de Equator verwijderd op een oost-westelijke koers of andersom, hoe meer booggraden er worden gepasseerd. Daarom worden op de Zeekaarten de afstanden in Zeemijlen afgemeten langs de staande kaartrand, ofwel gemeten langs een meridiaan.

Verheid berekenen over meridianen (Noord-Zuid-koersen e.o.)

Loxodrome koersen (koersen 90° of 270°) ofwel Oost-West o.a.

Van de parallellen is alleen de Evenaar ofwel de Equator een Grootcirkel. Alle andere parallellen die ‘parallel’ aan de Evenaar lopen zijn korter ofwel kleiner van omtrek rond de aarde. Aan de Noordpool en de Zuidpool in principe geminimaliseerd tot een ‘stip’ of een ‘punt’. Op de Polen van de Aardbol komen immers alle Meridianen samen. Aan de Evenaar liggen de Meridianen verder van elkaar af. Dit betekent dat op een Oost-Westelijke koers of andersom zowel op het Noordelijk- als op het Zuidelijk Halfrond de Verheid ofwel de Afgelegde Afstand in Zeemijlen niet gelijk opgaan met het aantal afgelegde – / af te leggen boogminuten. De berekening is betrekkelijk eenvoudig: Verheid in Zeemijlen = Het verschil in booggraden * Cosinus breedtegraad * 60 minuten. Op korte afstanden is de formule Verheid in Zeemijlen = Verschil in Boogminuten * Cosinus breedtegraad. Wellicht overbodig maar ter toelichting: de Cosinus van een hoek = de Aanliggende zijde / Schuine  zijde.

Verheid berekenen over parallellen (Oost-West-koersen e.o.)

Ter illustratie en controle

Stel, we varen op de Evenaar,
met andere woorden op de breedte van 0°
waarbij we een afstand afleggen van 15 Zeemijl koers 90°

Cosinus van 0° = Aanliggende zijde / Schuine zijde
cosinus 0° = 15’/15’
cosinus 0° = 1

Stel, we varen op de noordelijke Poolcirkel,
met andere woorden op de breedte van rond de 66°
met een vaart van 5 Knopen koers 90° vanaf 10° OL gedurende drie uur.

Verheid = Lengteverschil * cos b° * 60

Verheid = (lb – la) * cos 66° * 60
15 Zeemijl = (lb – 10°) * 0,407 * 60
15 Zeemijl = (lb – 10°) * 24,42

(lb – 10°) = 15 / 24,42
(lb – 10°) = 0,61°
lb = 10° + 0,61°

0,61° / 60’ = 0,36’
lb = 10° + 0,36’ = 10°36’ OL

Sinus, Cosinus, Tangens tabel, bruikbaar bij astronomische – en kustnavigatie.

Sinus, cosinus en tangens

De sinus, cosinus en tangens geven de verhouding van zijdes in een rechthoekige driehoek aan. Wanneer van een rechthoekige driehoek de lengtes van de zijdes bekend zijn, kan de hoek berekend worden door middel van de inverse (calculator) van de sinus, cosinus of tangens (sin–1, cos–1, tan–1). Op een calculator te vinden door eerst ‘shift’ in te toetsen en vervolgens sin, cos of tan. Of (bij benadering) door middel van bovenstaande tabel.

Sinus= Overstaande rechthoekszijde / Schuine zijde
Cosinus= Aanliggende rechthoekszijde / Schuine zijde
Tangens= Overstaande rechthoekszijde / Aanliggende zijde

Grootcirkelvaren

De aarde is bolvormig, waarbij de meridianen vanaf de Evenaar tot aan de Polen steeds dichter bij elkaar komen te liggen. Wanneer er een willekeurige koers wordt uitgelegd en dat de booghoek met de te passeren meridianen voortdurend gelijk zou blijven, dan zou dit betekenen dat de koers een gebogen weg zou afleggen over de aardbol. Ter illustratie: stel dat er van een willekeurige positie op de Evenaar een eindeloze koers ingezet zou worden van 80°, dan zal de koers een spiraalvormige lijn tonen mer meerdere omcirkelingen van de aardbol steeds dichter rondom de Noordpool. Bij een koers van bijvoorbeeld 100° evenzo richting de Zuidpool.

Wanneer een rechte koerslijn op een zeekaart in Mercatorprojectie uitgezet zou worden leidt dit tot een beduidend grotere Verheid. Koersende langs een Grootcirkel kan de te varen afstand aanmerkelijk worden verkort. Over korte afstanden is het voordeel van varen langs een  Grootcirkel nihil, maar bij grote Verheden zoals bij het oversteken van een oceaan kan de reis van A naar B beduidend korter worden, door het varen langs een Grootcirkel. Om dit te realiseren vaart men dus niet aanhoudend een vaste koers, maar wordt regelmatig, bijvoorbeeld dagelijks of na een vooraf berekend aantal Zeemijlen tijdens de reis een aantal maal de koers een aantal graden verlegd om de afstand tussen twee posities te bekorten.

Verheid langs een Grootcirkel berekenen

Cosinusregel voor boldriehoeken

De Verheid van koersen langs een willekeurige Grootcirkel anders dan langs een Meridiaan of de Evenaar kan berekend worden met één van de cosinusregels voor boldriehoeken zoals weergegeven in de tekening hierboven. De boldriehoek wordt gevormd door de hoeken Pn A en b B met de zijden APn BPn en AB. De lijn AB is daarin het deel van de Grootcirkel ofwel de te varen koerslijn.

De drie bogen APn, BPnen AB zijn daarin allen delen van een Grootcirkel. APnen BPn als zijnde meridianen en AB als een willekeurige Grootcirkel. Dit betekent dat de booghoek tussen de zijden APn en BPn is op te maken uit het lengteverschil tussen A en B, ongeacht de breedtegraden van A en B. Stel dat A ligt op de 0° Meridiaan van Greenwich en B op 60° Oosterlengte, dan zal de booghoek tussen APn en BPn 60° zijn. Stel dat A gelegen is op 150° Westerlengte en B op 8° Oosterlengte, dan volgt daaruit de booghoek tussen APn en BPn is 150° plus 15° maakt 165°. Stel dat A gelegen is op 10° Oosterlengte en B op 35° dan volgt daaruit de booghoek tussen APn en BPn is 35° minus 10° maakt 25°.

De zijden APn en BPn zijn delen van een Grootcirkel langs meridianen. Hieruit volgt dat het aantal Zeemijlen in afstand van A naar Pn en B naar Pn overeenkomt met het aantal boogminuten. Eenvoudig te berekenen door door te stellen de breedte van Pn minus de breedte van A, ofwel 90° minus bA is de afstand in booggraden. Door de uitkomst te vermenigvuldigen met 60 volgt daaruit het aantal boogminuten ofwel de verheid in Zeemijlen.

In de berekening is ‘sin bA’ de sinus van de breedtegraad van coördinaat A, ‘sin bB’ de sinus van breedtegraad van coördinaat B, ‘cos bA’ de cosinus van breedtegraad A en ‘cos bB’ de cosinus van breedtegraad B. Δl AB staat voor het Lengteverschil tussen coördinaten van A en B. De uitkomst van de formule is de cosinus van de Verheid langs de Grootcirkel AB welke herleid kan worden tot een afstand in booggraden, ofwel in Zeemijlen.

Grootcirkelkoers van New Foundland naar de Shetlands

New Foundland: 53° NB 60° WL
Shetlands: 60° NB 1° WL

Berekening van de Verheid langs de Grootcirkel:

cosinus Vgrc = cos (90° – bA) * cos (90° – bB) + sin (90° – bB) * sin (90° – bA) * cos hoek Pn
cosinus Vgrc = cos (90° – 53°) * cos (90° – 60°) + sin (90° – 53°) * sin (90° – 60°) * cos (60° – 1°)
cosinus Vgrc = cos 37° * cos 30° + sin 37° * sin 30° * cos 59°
cosinus Vgrc = 0,799 * 0,866 + 0,602 * 0,500 * 0,515
cosinus Vgrc = 0,692 + 0,155
cosinus Vgrc = 0,847
Vgrc = 32° * 60’ = 1920 Zeemijl

Berekening van de Koers bij vertrek uit New Foundland:

cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A
cos (90° – 60°) = cos (90° – 53°) * cos (59°) + sin (90°-53°) * sin (59°) * cos A
cos 30° = cos 37° * cos 59° + sin 37° * sin 59° * cos A
0,866 = 0,799 * 0,515 + 0,602 *  0,857 * cos A
0,866 = 0,411 + 0,515 * cos A
0,515 * cos A = 0,866 – 0,411
0,515 * cos A = 0,455
cos A = 0,455 / 0,515
cos A = 0,883

Koers A = 28° (Vertrekkoers New Foundland)

Berekening van de Koers bij aankomst Shetlands:

cos b = cos c * cos a + sin c * sin a * cos B
cos (90° – 53°) = cos (59°) * cos (90° – 60°) + sin (59°) * sin (90° – 60°) * cos B
cos 37° = cos 59° * cos 30° + sin 59° * sin 30° * cos B
0,799 = 0,515 * 0,866 + 0,857 * 0,500 * cos B
0,799 = 0,446 + 0,428 * cos B
0,428 * cos B = 0,799 – 0,446
0,428 * cos B = 0,353
cos B = 0,353 / 0,428
cos B = 0,824

Koers B = 34° (Aankomstkoers Shetlands)

Tussen de berekende Vertrekkoers en Aankomstkoers  ligt een verschil van 34° – 28° = 6°
De verheid langs de Grootcirkel bedraagt een afstand van 1920 Zeemijl waarin een aantal maal de koers verlegt gaat worden om langs de Grootcirkel te varen.

1920 Zeemijl / 7 trajecten (6 koerswijzigingen) leidt
tot een koerswijziging van 1° Oostwaarts om de 275 Zeemijl

Cosinusregel voor boldriehoeken

Eerste Cosinusregel voor boldriehoeken 

cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A
cos b = cos c * cos a + sin c * sin a * cos B
cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos C

Eerste Cosinusregel uitgewerkt voor Verheid Grootcirkel 

cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos C

Hierin is:

c de afstand AB
a de afstand CB
b de afstand CA
C de booghoek tussen CA en CB

cos c = cos a * cos b + sin a. * sin b * cos C
cosinus Vgrc = cosinus APn  * cosinus BPn  + sinus APn   * sinus BPn   * cosinus hoek Pn
cosinus Vgrc = cos (90° – bA) * cos (90° – bB) + sin (90° – bB) * sin (90° – bA) * cos hoek Pn
cosinus Vgrc = sinus bA * sinus bB + cosinus bA * cosinus bB * cosinus Δl AB

Over de relatie sinus en cosinus

Stel de bA = 32°
90° – 32° = 58°
cosinus 58° = 0,530 (zie tabel / calculator)
sinus 32° = 0,530 (zie tabel / calculator)

Stel de bB = 63°
90° – 63° = 27°
cosinus 27° = 0,981 (zie tabel of calculator)
sinus 63° = 0,891 (zie tabel of calculator)

Poolshoogte en Poolster

Disclaimer

De bovenstaande uitleg en benaderingen zijn zo betrouwbaar mogelijk uitgelegd maar geven geen garantie op een veilige navigatie ter land, ter zee of in de lucht of het slagen voor een examen. Het bovenstaande is uitsluitend bedoeld om het begrip van en de belangstelling voor de navigatie te verbreden.