NAVIGATIE

Loxodroom navigatie

Koersen die zich ‘loxodroom’ vervolgen zijn koersen waarbij voortdurend dezelfde kompaskoers wordt aangehouden, vanaf en op weg naar posities op aarde. De hoek tussen de meridianen en de koerslijn is bij ‘loxodrome koersen’ bij iedere meridiaan gelijk.  ‘Loxodrome koersen’ lijken rechtlijnig te zijn vanwege deze consequente hoek tussen de meridianen en de paralellen, maar in werkelijkheid, vanwege de bolvorm van de aarde, is er sprake van een spiraalvormige koerslijn. ‘Loxodroom’ betekent vertaald ‘schuine loop’, duidende op de schuine hoek tussen de koerslijn en de parallellen of meridianen.

Noord-Zuid en Zuid-Noord gerichte koersen (0° en 180°)

Bij koersen recht naar het noorden en zuiden gerichte koersen (0° en 180°) (koers die een meridiaan volgen) komen de boogminuten overeen met de afgelegde Zeemijlen, welke afgelezen kunnen worden op de staande (verticale) kaartrand van de zeekaart. Ter illustratie: varende van bijvoorbeeld 52°39’ noorderbreedte naar en 52°59’ noorderbreedte met koers 0° legt men 59’ – 39’ = 25’ = 20 Zeemijl af. Varende van 35°34’ Noorderbreedte naar 12°27’ Zuiderbreedte met koers 180° wordt er 48°1’ afgelegd, 48°1’*60=2881’ is gelijk aan 2881 Zeemijl.

Loxodrome koersen van noord naar zuid of tegengesteld, 0° en 180°

Oost-West en West-Oost gerichte koersen (90° en 270°)

Bij koersen recht naar het westen en oosten gerichte koersen (90° en 270°) komen uitsluitend en alleen op de evenaar de boogminuten overeen met de afgelegde Zeemijlen. Op alle andere parallellen zijn de afgelegde afstanden kleiner dan het aantal boogminuten. Op de evenaar zijn de boogafstand in boogminuten en Verheid aan elkaar gelijk, hoe dichter bij de Noordpool of de Zuidpool hoe groter het verschil. Door het toepassen van de cosinus kunnen de Verheid in Zeemijlen en het Lengteverschil in boogminuten berekend worden, uitgaande van de breedte, de parallel waarlangs gevaren wordt met een koers van 90° (oostwaarts) of 270° (westwaarts).

Loxodrome koersen van oost naar west of tegengesteld, 90° en 270°
Verheid AB in Zeemijlen = Lverschil in ‘ * cos breedte °’ * 60

In formules:

Parallelminuten = Verheid / cosinus breedte
Lengteverschil AB = Verheid /cos b°
Verheid = cosinus Breedte * Parallelminuten
Verheid = Lengteverschil AB * cos b°

Sinus, Cosinus, Tangens tabel, bruikbaar bij astronomische – en kustnavigatie.

Voorbeeldberekening A, Verheid

We bevinden ons op 52°37’NB en varen koers 90°
We varen van 5°25’OL (A)  naar 5°37’OL (B)

Uitwerking:

AB = 5°37OL – 5°25’OL
AB = 12’

Verheid AB = (cosinus 52°37’) * 0°12’
Verheid AB = (0,607) * 0°12’
Verheid AB = 36,42 * 0°12’
Verheid AB = 0°7’17” (calculator)

17/60=0,28
Verheid AB = 7,28 Zeemijl

Voorbeeldberekening B, Parallelminuten

We bevinden ons op 52°39’ NB 5°35’ OL (Haven van Urk)
We gaan koers 270° voorliggen, gedurende 1,5 uur SOG (Vaart over de Grond) 5 Knopen

Wat zal de DR (Dead Reckoning) ofwel het gegist bestek zijn?

Oplossing

Verheid AB = 1,5 uur * 5 Knopen = 7,5 Zeemijl

Verheid AB = cosinus breedte * Parallelminuten
7,5 Zm = 60*cosinus 52°39’ * Parallelminuten

Lengteverschil AB= Verheid AB / cos 52°39’
Lengteverschil AB = 7,5 / cos 52°39’
Lengteverschil AB = 7,5 / 0,607
Lengteverschil AB = 0°12’

Parallelminuten = 0°12’ westelijker

DR (Gegist bestek) = 52°39’NB en (5°35’OL – 0°12’)
DR (Gegist bestek) = 52°39’NB en 5°23’OL

Orthodroom (Grootcirkel)navigatie

Een grootcirkel ook wel orthodroom genoemd is een cirkel op een bolvorm waarvan het middelpunt, de straal en de diameter van de cirkel door het middelpunt van de bolvorm gaan. De evenaar of equator van de aarde is zo’n grootcirkel, alle andere parallellen rond de aarde zijn kleincirkels, de straal en de diameter van deze kleincirkels snijden wel de aardas maar gaan niet tot het middelpunt van de aarde. De straal en de diameter van alle andere grootcirkels niet parallel aan de evenaar snijden wel het middelpunt van de aarde. Wanneer een grootcirkel twee punten op aarde verbindt is dat de kortste afstand, in nautisch jargon ‘verheid’ genoemd. Deze is in verheid (afstand) geringer dan een ‘loxodroomkoers’ die op een kaart volgens de Mercatorprojectie recht loopt maar op een bolvorm als een gebogen lijn. De kortere verheid van de grootcirkel (orthodroom) ten opzichte van de loxodroom geniet de voorkeur bij het oversteken van een oceaan. Tenzij zich omstandigheden voordoen zoals gebieden met ijsbergen, stormen en stromingen.

De omvang in Verheid van de (rode) grootcirkel komt overeen met de omvang in Verheid van de evenaar. Het middelpunt van de grootcirkel snijdt door het middelpunt Mp van de aarde.

Vertex

Onder de ‘Vertex’ wordt verstaan de positie waar de grootcirkel of orthodroom de grootste breedtegraad doorloopt, hetzij noordelijk, hetzij zuidelijk. Op dit traject van de grootcirkel is de koers of 90° (koers oost) of 270° (koers west). Na het bereiken van de ‘Vertex’ beweegt zich de grootcirkel zich weer van de hogere breedten (noorderbreedte of zuiderbreedte) vandaan naar de lagere breedten dichter bij de evenaar gelegen.

Verheden en koersen langs een grootcirkel

Op de evenaar als zijnde een grootcirkel en over een meridiaan als zijnde een halve grootcirkel komen zoals eerder werd uiteengezet de boogminuten overeen met Zeemijlen. Het breedteverschil in boogminuten van tussen (zie tekening bij Loxodrome koersen) positie A en een positie A’ of A” wanneer deze gelegen zijn op dezelfde meridiaan komt overeen met de verheid in Zeemijlen. Het lengteverschil in boogminuten tussen posities A en B beide gelegen op de evenaar komt ook overeen met de verheid in het aantal Zeemijlen. Bij een willekeurige grootcirkel (en alleen bij grootcirkels, niet bij kleincirkels!) rondom de aarde gaat dit beginsel ook op: een boogminuut van een willekeurige grootcirkel of een deel daarvan komt overeen met een Zeemijl op deze grootcirkel.

De cosinusregel bij bolvormige driehoeken

Door middel van de cosinusregel bij bolvormige driehoeken kunnen zowel de Verheid tussen de coördinaten van A en B als de Vertrekkoers vanuit een genoemde coördinaat worden vastgesteld. Bij de berekening van de Verheid van A naar B wordt er een boldriehoek geconstrueerd tussen Pn of Pz en de coördinaten A en B. De geconstrueerde boldriehoek wordt ook gebruikt bij de berekening van de Vertrekkoers, waarbij de cosinus van hoek K (Krs of Ware Koers) de te bereken waarde is.

cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A°

cos Vgrc = cos APn * cos BPn + sin APn * sin BPn * cos Pn°
cos Vgrc = cos (90°-bA°) * cos (90°-bB°) + sin (90°-bA°)* sin (90°-bB°)*cos Pn°
cos Vgrc= cos(90°-bA°) * cos(90°-bB°) + sin(90°-bA°) * sin(90°-bB°) *cos (lA°+lB°)

Cosinusregel Boldriehoeken, Verheid

cos Vgrc = cos (90°-bA°) * cos (90°-bB°) + sin (90°-bA°)* sin (90°-bB°)* cos Pn°

Gegeven:

Reykjavik, IJsland, 64°8′NB, 21°56′WL
Bergen, Noorwegen, 60°23’NB, 5°19’OL

Gevraagd: Afstand (Verheid) langs een grootcirkel.

Oplossing:

A = 60°23’NB, 5°19’OL (Bergen)
B = 64°8′NB, 21°56′WL (Reykjavik)

cos Vgrc = cos(90°-bA°) * cos(90°-bB°) + sin(90°-bB°)* sin(90°-bA°)*cos(lA°+lB°)
cos Vgrc = cos(90°-64°8′)* cos(90°-60°23′) + sin(90°-60°23′)*sin(90°-64°8′)*cos(21°56′+5°19′)
cos Vgrc = cos 25°52’ * cos 29°37’ + sin 29°37’ * sin 25°52’ * cos 27°15’
cos Vgrc = 0,899811747 * 0,86935121 + 0,494194771 * 0,436278373 * 0,889017141
cos Vgrc = 0,782252431 + 0,191677865
cos Vgrc = 0,973930296
Vgrc = 13.11154037*60 =786,69 Zeemijl

Gevraagd: Koers bij vertrek uit Bergen

Grootcirkelkoers Bergen Reykjavik

Cosinusregel bij boldriehoeken: cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A°

cos BPn = cos Vgrc AB * cos APn + sin Vgrc AB * sin APn * cos Krs A

cos(90° – 64°8’) = cos(13.11154037)*cos(90°-60°23’) + sin(13,11154037)*sin(90°-60°23’)*cos Krs
cos 25°52’ = cos 0,973930296 * cos 29°37’ + 0,226847478 * sin 29°23’ * cos Krs
0,899811747 = 0,973930296 * 0,86935121 + 0,22684748 * 0,490650307 * cos Krs
0,899811747 = 0,846687471 + 0,111302785 * cos Krs
0,899811747 – 0,846687471 = 0,111302785 * cos Krs
0,053124276 = 0,11130278 * cos Krs
cos Krs = 0,053124276 / 0,11130278
cos Krs = 0,47729514
Krs = 61,49110815

Ware koers bij vertrek uit Bergen (Noorwegen) naar Reykjavik (IJsland)
langs een grootcirkel: 360° – 61,49° = 298,5°

Verheid langs grootcirkel van Bergen naar Reykjavik
786,69 Zeemijl (Casio fx-82MS calculator)
volgens Leica MK9 GPS 787 Zeemijl

Bij de instelling ‘loxodroomkoers’ duidt de GPS aan 793 Zeemijl.

Gegeven:

Horta op de Azoren, 38°32’NB 28°38’WL
Brest, Frankrijk, 48°23′NB 4°29′WL

Gevraagd: Verheid en Vertrekkoers langs grootcirkel

Oplossingen:

48°23′NB 4°29′WL Brest
38°32’NB 28°38’WL Azoren

cos Vgrc = cos(90°-bA°) * cos(90°-48°23′) + sin(90°-bB°)* sin(90°-bA°)*cos (lA°+lB°)
cos Vgrc = cos(90°-38°32′)*cos(90°-48°23′) + sin(90°-48°23′)*sin(90°-38°32′)* cos(28°38′-4°29′)
cos Vgrc = cos 51°28’ *cos 41°37’ + sin 41°37’ * sin 51°28’* cos 24°9’
cos Vgrc = 0,622969834 *0,74760493 + 0,66414371 * 0,78224586 * 0,912477494
cos Vgrc = 0,465735319 + 0,474053654
cos Vgrc = 0,93978873
Vgrc = 19,98389341*60 =1199,03 Zeemijl

Cosinusregel Boldriehoeken, Koers

cos BPn = cos Vgrc AB * cos APn + sin Vgrc AB * sin APn * cos WK A°

cos (90°-38°32′)= cos 19,9839341 * cos (90°-48°23′) + sin 19,9839341 * sin (90°-48°23′) * cos Krs
cos 51°28′ = cos 19,9839341 * cos 41°37′ + sin 19,9839341  * sin 41°37′ * cos Krs
0,622969834 = 0,939788487 * 0,74760493 + 0,341756637 * 0,66414371 * cos Krs
0,622969834 = 0,702590506 + 0,22697552 * cos Krs
0,622969834 – 0,702590506 = 0,22697552 * cos Krs
-0.079620672 = 0,22697552 * cos K
cos Krs = -0.079620672 / 0,22697552
cos Krs = -0,350789688
Krs = 110,5

Ware koers bij vertrek uit Brest (Frankrijk) naar Horta (Portugal)
langs een grootcirkel: 360° – 110,5° = 249,5°

Gegeven:
A, Lerwick, 60°9’NB 1°9’WL
B, Newfoundland, 48°33′NB 55°46′WL

Gevraagd: Verheid en Vertrekkoers

Uitwerking van de Verheid

Cosinusregel Boldriehoeken Lerwick Newfoundland

cos Vgrc = cos(90°-bA°) * cos(90°-bB°)+ sin(90°-bB°)* sin(90°-bA°)*cos (lA°+lB°)
cos Vgrc = cos(90°-60°9’)*cos(90°-48°33′)+sin(90°-48°33′)*sin(90°-60°9’*cos(55°46’-1°9’)
cos Vgrc = cos 29°51’ *cos 41°27’ + sin 41°27’ * sin 29°51’ * cos 54°37’
cos Vgrc = 0,867331431 *0,74953368 + 0,661966208 *0,497731039*0,579044036
cos Vgrc = 0,650094119 + 0,190784082
cos Vgrc = 0,840878201
Vgrc = 32,76702801*60 =1966,02 Zeemijl

Uitwerking van de Vertrekkoers

cos BPn = cos Vgrc AB * cos APn + sin Vgrc * sin APn * cos WK A°

cos (90°-48°33′) = cos 32,76702801*cos (90°-60°9′)+sin 32,76702801*sin  (90°-60°9′) * cos Krs
cos 41°27’=cos 32,76702801*cos 29°51′ + sin 32,76702801 * sin 29°51′ * cos Krs
0,74953368 = 0,840878201* 0,867331431+0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
0,74953368 =0,729320093 + 0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
0,74953368 – 0,729320093 = 0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
0,0020213587 = 0,541224401 * 0,497731039 *cos Krs
cos Krs =0,0020213587 / 0,497731039
cos Krs = 0,040611465
Krs = 85,31985149

Ware Koers bij vertrek uit Lerwick (Groot Brittanië) naar Newfoundland (Canada)
langs een grootcirkel : 360° – 85,3° = 274.7°

Uitwerking van de Aankomstkoers

cos APn = cos Vgrc AB * cos BPn + sin Vgrc * sin BPn * cos WK B°

cos (90°-60°9′)=cos 32,76702801*cos (90°-48°33′)+sin 32,76702801*sin (90°-48°33′)*cos KRS B°
cos 25°51’= cos 32,76702801 * cos 41°27′ + sin 32,76702801 * sin 41°27′ * cos Krs B
0,899938617 = 0,840878201 * 0,74953368 + 0,541224399 * 0,661966208 * cos krs B
0,899938617 = 0,630266532 + 0,358272217* cos Krs B
0,899938617 – 0,630266532 = 0,358272217* cos Krs B
0,269672085 = 0,358272217 * cos Krs B
cos Krs B = 0,269672085 / 0,358272217
cos Krs B = 0,752701639
Krs B = 41,17

Ware Aankomstkoers bij B = 41,2° + 180° = 221,2°

Cosinusregel Boldriehoeken Newfoundland Lerwick

Vertrekkoers Lerwick: 274,7°
Aankomstkoers Newfoundland 221,2°
Koersverschil Vertrek en Aankomst = 274,7° – 221.2° = 53,5°

Verheid Lerwick – Newfoundland 1966,02 Zeemijl
Vaart schip gemiddeld 12 Knoop
Dagafstand schip 12 Knoop * 24 uur = 288 Zeemijl/etmaal
Vaartijd 1966,02 / 12 = 163,8 uur / 24 = 6,82 etmaal (afgerond 7 dagen).

koersverschil Vertrek en aankomst = 53,5° / 6 = 8,9° koersverschil/etmaal
ofwel afgerond 9° koersverschil/deeltraject van 280 Zeemijl

Eenmaal per etmaal (bijvoorbeeld 12.00 UTC) wordt de koers 9° zuidelijker verlegd,
ofwel iedere (afgerond) 280 Zeemijl wordt de koers 9° zuidelijker verlegd.

Grootcirkelkoers Lerwich – Newfoundland

Disclaimer

De bovenstande uitleg en benaderingen zijn zo betrouwbaar mogelijk uitgelegd maar geven geen garantie op een veilige navigatie ter land, ter zee of in de lucht of het slagen voor een examen. Het bovenstaande is uitsluitend bedoeld om het begrip van en de belangstelling voor de navigatie te verbreden.