INLEIDING OP DE ASTRONOMISCHE NAVIGATIE

‘Hersenspinsels van een machinist’, dat is wat hieronder gaat volgen. In 1982 gekozen voor de machinistenschool, de ‘Middelbare School voor Scheepswerktuigkundigen’. De andere optie was de Zeevaartschool, de opleiding tot stuurman, maar daar is het niet van gekomen. Wel de opleiding tot varen onder de kust, met de bijbehorende kennis van de kustnavigatie en vrijstelling voor scheepswerktuigkunde. Maar de vaardigheden van de astronomische navigatie aan de hand van zon en sterren bleven mij vreemd. En dan ook nog ingehaald worden door de tijd, die van de satelliet navigatie en wat al niet meer. Inmiddels al lang en breed aan de wal is het mij blijven boeien, ben ik mij ‘met terugwerkende kracht’ gaan verdiepen in de astronomische navigatie. ‘Autodidact’ met een mooi woord. Met tweedehands leerboeken van de zeevaartschool op de boekenplank.

HOOFDSTUK 1 Bij de tijd

Deze inleidende woorden hebben ingepland gestaan voor de twaalfde van de twaalfde van het jaar tweeduizend eenentwintig om eenentwintig punt nul nul uur. Maar dit geschreven hebbende, er is ooit een tijd geweest dat de datum, dagen en uren minder precies werden aangeduid. Meer globaal en zoals de tijd zich voordeed. Zo begon de dag bij zonsopkomst en het kraaien van de haan, en eindigde de dag met de zonsondergang en de kippen op stok. Voor dag en dauw was de dag nog niet begonnen. Zolang er licht en zon was, was het dag. En om de uren te tellen kwamen er op een zeker moment de zonnewijzers, zoals de steenformaties van Stonehenge en aan gevels in steden. Aan de schaduw en lichtinval van de zon viel te zien welke dag en hoe laat het was.

Stokje voor gestoken

Mogelijk dat men op het platteland daar weleens een stokje voor gestoken zal hebben: een paaltje met in een cirkel merktekens op de grond. Vergelijkbaar met het prehistorische Stonehenge. Er zijn verhalen dat wanneer er ergens een wijngaard werd aangelegd, dat daar ook een toren werd gebouwd. Voor de uitkijk, zo wordt gezegd. Maar het kan ook zijn dat deze ‘torens’ mede fungeerden als zonnewijzers die hun schaduwen wierpen om de uren te tellen. Zolang het dag is kan er worden gewerkt in de wijngaard.

Klokkentoren 

Zoals ook eeuwenoude kerken als geheel de tijden duidden. Eeuwenlang zijn kerken met het altaar en het koor van het ‘schip der kerk’ in oostelijke richtingen gebouwd, naar waar de zon opgaat. Het naar binnenvallende zonlicht en de schaduw van de kerktoren over het dak in de namiddag en avond een aanduiding voor de tijd en het jaargetijde. Waar dankzij de voortschrijdend inzicht en techniek het uurwerk bij is gekomen, waarin de uren kwamen te liggen in een vastgestelde tijd, en kwam er de torenklok, ook op stadhuizen, scholen en stations, het mechanische equivalent voor de zonnewijzer. Wanneer je kon klokkijken kon je niet alleen in de stad, maar ook vanuit de verte zien hoe laat het was.

Scheepsklok

Horloge als kompas

De zon komt dus op in het oosten en gaat onder in het westen. Elke dag opnieuw. Het aardige is dat je met een gewoon horloge met wijzers redelijk nauwkeurig de windstreken kunt duiden. Een uurwerk wordt daarmee een kompas. Dat werkt zo: stel, op je polshorloge zie je bijvoorbeeld dat het negen uur in de morgen is. De zon is in het oosten opgekomen. Richt nu de kleine wijzer, de uurwijzer richting de zon. En nu komt het, de wijzerplaat is verdeeld in twaalf gelijke segmenten tussen de uren. Trek een denkbeeldige lijn over het midden van de wijzerplaat en tussen ‘twaalf uur’ en ‘negen uur’. Deze lijn wijst op het noordelijk halfrond naar het zuiden. Het noorden ligt daar tegenover. Op het zuidelijk halfrond met de zon in het noorden werkt het andersom.

Tegen de tijd van zonsondergang zal het opnieuw rond negenen zijn, het uurwerk is bezig met de tweede ronde van het etmaal. De denkbeeldige lijn tussen ‘negen’ en ‘twaalf’ die het zuiden aanwees loopt aan de onderzijde van de wijzerplaat over het segment ‘half vijf’, in de avond het zuiden aanwijzend, en het noorden daar recht tegenover, over het segment ‘half elf’. Tot zover de aanduiding van de windstreken aan de hand van de afgelezen tijd. Globaal gesproken weliswaar.

Twaalf uur middag is een bijzondere. Dan staat de kleine wijzer, de uurwijzer op de ‘twaalf’. Er vallen dus geen ‘uursegmenten’ te delen. En dat klopt ook, om twaalf uur in de middag staat de zon recht in het zuiden. Op het zuidelijk halfrond in het noorden.

Horloge als kompas, negen uur s’ morgens op het noordelijk halfrond

Scheepsmiddag

In de nautische navigatie wordt gesteld dat de zon op het midden van de dag de meridiaan van de waarnemer passeert. Meridianen zijn de denkbeeldige lijnen die lopen van de geografische Noordpool naar de Geografische Zuidpool, dus van noord naar zuid. Ziet een waarnemer op aarde de zon recht in het zuiden of het noorden staan, of recht boven zich, dan bevinden de zon en de waarnemer zich in het vlak van dezelfde meridiaan. Aan de wal wordt gezegd ‘het is twaalf uur’. Op zee is het ‘Scheepsmiddag’.

HOOFDSTUK 2 Greenwich Mean Time

Wanneer de zon recht in het zuiden staat, gezien vanuit een land als Nederland, of recht boven je in de Tropen, of recht in het noorden gezien vanuit bijvoorbeeld Nieuw Zeeland, Australië of Zuid-Amerika, dan is het midden op de dag. Je zou er dan de klok op gelijk kunnen zetten, het is dan twaalf uur. Of toch niet?

Het gegeven is: de aarde staat nooit stil, maar draait al een eeuwigheid onophoudelijk ronden om haar aardas. Als het ware als een uurwerk met wat speling op de lagers, onder invloed van de aantrekkingskrachten van de zon en de maan. Het water van de oceanen klotst alle kanten op. En of de zon helemaal stil staat in het heelal, wie het weet mag het zeggen. Maar al met al is er wel een aardige regelmaat, naar menselijke maatstaven in nog net geen vierentwintig uur klokje ronddraaiend, in 23 uur, 56 minuten en 4 seconden met als draaipunt een denkbeeldige as door de polen. Schrikkelseconden zijn nodig om de klokken weer ‘op tijd’ te laten lopen, in gelijke tred met de bewegingen van de aarde rond de zon.

GREENWICH MEAN TIME Greenwich Mean Time GMT is de astronomische tijd, gebaseerd op de stand van de zon en de omwenteling van de aarde. Greenwich Mean Time is het ijkpunt. De lengtegraad bedraagt 0° en loopt door het gebouw van de Royal Observatory van Greenwich, London. Wanneer de zon waargenomen vanuit Greenwich op zijn hoogste punt aan de hemel staat in het zuiden, is het precies 12 uur in de middag, 12.00 GMT.

Knappe koppen hebben de aarde in vakken verdeeld. Maar dat was nog een heel gepuzzel. Want de aarde heeft een bolvorm. Sterker nog, een beetje een afgeplatte bol als gevolg van middelpuntvliedende krachten. Maar het is gelukt door de aarde te beschouwen als een volmaakte bol bij het bedenken van een ‘vakverdeling’. Men bedacht lijnen in de lengte en de breedte als cirkels rond de aarde. Cirkels in de lengte evenwijdig aan de Evenaar, de paralellen, en cirkels in de breedte van pool tot pool, de meridianen. Het ‘Geografisch Coördinatenstelcel’ met een Noordelijk – en een Zuidelijk halfrond en een Oostelijk – en een Westelijk halfrond. Een plaats op aarde ligt op zoveel graden noorderbreedte en op zoveel graden oosterlengte. Of een andere variant.

Geografisch coördinatenstelcel

Baken in zee

Maar welke meridiaan aan te wijzen als de 0° Meridiaan, met in het verlengde de 180° Meridiaan, de scheidslijn tussen het Oostelijk – en het Westelijk halfrond? Waarvandaan ook de tijd gemeten kan gaan worden, als zijnde de ‘wereldtijd’? Daar is lang over gediscussieerd, met name door zeevarende landen als Engeland, Spanje en Portugal. Door het Observatorium van Parijs loopt ook een ‘Franse Meridiaan’. Nederlandse zeelieden gebruikten volgens logboeken uit de zestiende en zeventiende eeuw vaak de ‘Meridiaan van Tenerife’, met de vulkaanberg Pico del Teide als baken. Aardig om te weten: Pico del Teide is de hoogste vulkaan van Europa wanneer deze gemeten wordt van aan de basis op de oceaanbodem tot aan de top. Met zijn 3.715 meter boven water en ruim 7.000 meter onder water is hij bijna 11 kilometer hoog. Een baken in zee!

Greenwich Observatorium

Maar uiteindelijk kan je erop wachten dat het rijk met de meest wereldwijde belangen, de grootste invloed en de knapste geleerden het zeggen gaat. En dat was Engeland. Beduidend dat de 0° Meridiaan over Greenwich loopt, alwaar ook al sinds mensenheugenis een Koninklijk observatorium staat. Dat was al zo in de zestiende eeuw, de Gouden Eeuw van vorsten, ontdekkingsreizigers en kolonisten. In 1884 werd de 0° Meridiaan van Greenwich als universele 0° meridiaan aangewezen, waarmee we tot op de dag van vandaag rekenen. In tijd en plaats. Gaat de zon door de 0° Meridiaan van Greenwich, dan is het 12.00 uur Greenwich Mean Time, 12.00 GMT.

Greenwich

Maar dan de tijdzones: de aarde maakt één omwenteling in (zo goed als) vierentwintig uur. Een ronde van 360° gedeeld door 24.00 uur maakt 15° per uur. Met de 0° Meridiaan van Greenwich in het midden maakt dat een zone van 7°30’ oostwaarts en 7°30’ westwaarts. Vandaar de benaming Greenwich Mean Time. Alle reden om de tijd afgeleid van de Meridiaan van Greenwich de ‘gemiddelde tijd’ te noemen.

Greenwich Mean Time Tijdzones

HOOFDSTUK 3 Graadmeter

Vroege zeelieden

Wat zullen de zeevarende ontdekkingsreizigers van weleer vindingrijk zijn geweest. Ik denk daarbij aan de Vikingen uit het hoge noorden die zowel Normandië als Newfoundland zouden hebben bezeild. En aan de Inca’s van de hedendaagse Peruaanse en Chileense kusten die Polynesië hebben bereikt. Een ander vermoeden is weer dat Polynesiërs juist naar Zuid-Amerika zeilden. Maar denk ook aan de Europeanen die een alternatieve route naar de oost zochten en die voet aan land zetten, waarschijnlijk op één van de Bahama-eilanden. Moedige maar ook vindingrijke zeevaarders! Met beperkte middelen en ervaringen bij overlevering om uit te vinden in welke richting ze gingen, waar ze bij benadering waren, en hoe vlot het allemaal ging.

De Kon Tiki expeditie

Christoffel Columbus

Wanneer men in de prehistorie al steenformaties als Stonehenge, en in de Middeleeuwen al kerken wist te bouwen met de fundamenten in oostelijke richting, dan zal men besef hebben gehad van oost en west, en van het opkomen en weer ondergaan, en van de baan langs de hemel van de zon. Daarop zullen ontdekkingsreizigers als Amerigo Vespucci, Ferdinand Magellaan en Christoffel Columbus in 1492 zeker gestuurd hebben: s’ morgens vroeg de zon in de rug, halverwege de ochtend bakboord achter, midden op de dag de zon zo veel mogelijk aan bakboord houden, later op de dag bakboord voor, en in de avond zo veel mogelijk recht vooruit. En tegelijk de wind in de zeilen houden. En s’nachts? De Poolster aan de rechterhand, aan stuurboordzijde.

Maar Columbus had ook een kompas en wist een schatting te maken van de snelheid waarmee gezeild werd, dus door het eenvoudige sommetje van snelheid maal tijd is een dagafstand wel te berekenen. Het gegist bestek. Aangezien Columbus ervan overtuigd was dat de aarde bolvormig was, en geen platte schijf zoals sommigen veronderstelden, wist hij dat er vroeg of laat weer land in zicht moest gaan komen. Dat kwam er daadwerkelijk op 12 oktober 1492, na twee maanden zeilen op een westelijke koers. Ruim twee maanden eerder, op 3 augustus had het vertrek plaats gevonden vanuit zuid Spanje, eerst richting de Canarische Eilanden en dan vanaf 6 september mee met de zuidoost passaatwind.

Gegist bestek

Het gegist bestek is de vermoedelijke positie berekend op basis van koers en vaart vanuit de laatst bekende positie, waarin meegerekend de invloed van wind en stroom en drift. Vandaar de grote behoefte aan een uurwerk, een instrument dat de tijd meet. Want weet je de tijd en het tijdverloop, dan is daarmee vaart en afstand te berekenen, ook zonder ‘land in zicht’. En daar hadden de vroege zeevaarders een probleem, met het ontbreken van een zuiver uurwerk.

GEGIST BESTEK Het Gegist bestek is een schatting van de positie bepaald vanuit een bekende vertrekpositie aan de hand van de gevaren koers en afgelegde afstand, zo mogelijk rekening houdend met de invloeden van wind en stroom. De Engelse term voor Gegist Bestek is Dead Reckoning.

Voor de zon uit of achterna

‘Scheepsmiddag’ ofwel ‘Boordtijd’ is daarbij te bepalen aan de hand van de zon, pal zuid (of noord), zoals met een schaduwnaald boven het kompas. Maar wat als je, zoals bij een oceaanoversteek al meerdere dagen onderweg bent? Met de kennis van nu zeil je dan andere tijdzones in, verloopt de tijd, op een westelijke koers zeil je dan voor de zon uit, rijst de zon later boven de horizon uit, en daalt ook later naar de horizon voor je, de zon haal je immers al zeilende niet in maar reist wel mee. En op een dagenlange oostelijke koers vindt het tegenovergestelde plaats.

Greenwich Mean Time, op aanwijzing van de zon

Tijdmeter

Zandlopers waren destijds de eerste tijdmeters. Slingeruurwerken waren aan de wal behoorlijk nauwkeurig, maar op een slingerend en beweeglijk schip dus niet. Maar de doorbraak kwam met de uitvinding van de chronometer. Een exact uurwerk dat tot op de seconde nauwkeurig de tijd meet. En daar kunnen we wat mee. Want heb je een uurwerk dat exact de tijd aangeeft, dan is dat een maat voor de afstand tot de 0° Meridiaan van Greenwich! Om daarmee de ‘lengte-positie’ te bepalen bij het waarnemen van de zon op ‘Scheepsmiddag’.

‘Graadmeter’

Om 12.00 uur GMT passeert de zon de 0° Meridiaan van Greenwich. 60 minuten later ofwel om 13.00 GMT passeert de zon de meridiaan van 15° westerlengte. De aarde maakt een omwenteling van 360° in 24 uur, 360° / 24 = 15° per uur. 30 minuten na 12.00 GMT, dus om 12.30 GMT passeerde de zon de meridiaan van 7°30’ westerlengte. 12.15 GMT was dat de meridiaan van 3°45’. En teruggerekend naar 11.00 GMT had de zon ‘Greenwich’ nog niet bereikt maar passeerde de zon de meridiaan van 15° oosterlengte. Waarmee de ‘tijd’ fungeert als een ‘graadmeter’.

24 uur * 60 minuten = 1440 minuten in 360°
1440 minuten / 360° = 4 minuten in 1°
1 minuut = 0,25° genoteerd 15’

360° / 24 uur = 15°
15° / 60 minuten = 0,25° genoteerd 15’

Greenwich Mean Time, de zon legt 15° af in 1 uur

Van gegist bestek naar zonsdoorgang

De onderstaande tabellen zijn op de volgende manieren bruikbaar. Stel, het gegist bestek wijst uit dat we ons rond het middaguur zouden bevinden op 38° 32′ noorderbreedte en 28° 38′ westerlengte. De vraag is: Op welk tijdstip zal de zon door de meridiaan van 28° 38′ west gaan om daarmee het gegist bestek te bevestigen. In de tabel ‘Van booggraad naar tijd’ vinden we 30° vermeld, 2° westwaarts van 28° westerlengte. De zon gaat twee uur na 12.00 GMT dus om 14.00 GMT door de meridiaan van 30° maar volgens dezelfde tabel vinden we ook de tijd van 8 minuten behorende bij 2°. Hieruit volgt (voorlopig, er zijn meer factoren van invloed) dat gebaseerd op het gegist bestek de zon op 13.52 GMT boven onze meridiaan zal staan.

Van zonsdoorgang naar lengtebepaling

Stel dat we om 11.25 GMT de zon recht in het zuiden zien staan. Wij bevinden ons dan op dezelfde meridiaan als de zon. Het is ‘Scheepsmiddag’. Volgens de tabel ‘Van tijd naar booggraad’ bevinden we ons 35 minuten voor 12.00 GMT. 35 minuten komt overeen met 8°45’ en wel in oostelijke richting: het is voor 12.00 uur en 60 minuten minus 25 maakt 35 minuten. De 0° Meridiaan van Greenwich minus 8°45’ wijst uit dat we ons bevinden op 8°45’ oosterlengte. Nogmaals, er zijn meer factoren maar dit is het principe.

TABELLEN

Van boogseconden naar tijd

15’ = 0,25° = 1 minuut
30’ = 0,5° = 2 minuten
45’ = 0,75° = 3 minuten
60’ = 1° = 4 minuten

Van booggraad naar tijd

1° = 4 minuten
2° = 8 minuten
3° = 12 minuten
4° = 16 minuten
5° = 20 minuten
6° = 24 minuten
7° = 28 minuten
8° = 32 minuten
9° = 36 minuten
10° = 40 minuten
11° = 44 minuten
12° = 48 minuten
13° = 52 minuten
14° = 56 minuten
15° = 60 minuten (1 uur)

30° = 2 uur
45° = 3 uur
60° = 4 uur
75° = 5 uur
90° = 6 uur
105°= 7 uur
120°= 8 uur
135°= 9 uur
150°= 10 uur
165°= 11 uur
180°= 12 uur
195°= 13 uur
210°= 14 uur
225°= 15 uur
240°= 16 uur
255°= 17 uur
270°= 18 uur
285°= 19 uur
300°= 20 uur
315°= 21 uur
330°= 22 uur
345°= 23 uur
360°= 24 uur

Van tijd naar booggraad

1 minuut 0°15’
2 minuten 0°30’
3 minuten 0°45’
4 minuten 1°
5 minuten 1°15’
6 minuten 1°30’
7 minuten 1°45’
8 minuten 2°
9 minuten 2°15’
10 minuten 2°30’
11 minuten 2°45’
12 minuten 3°
13 minuten 3°15’
14 minuten 3°30’
15 minuten 3°45’
16 minuten 4°
17 minuten 4°15’
18 minuten 4°30’
19 minuten 4°45’
20 minuten 5°
21 minuten 5°15’
22 minuten 5°30’
23 minuten 5°45’
24 minuten 6°
25 minuten 6°15’
26 minuten 6°30’
27 minuten 6°45’
28 minuten 7°
29 minuten 7°15’
30 minuten 7°30’
31 minuten 7°45’
32 minuten 8°
33 minuten 8°15’
34 minuten 8°30’
35 minuten 8°45’
36 minuten 9°
37 minuten 9°15’
38 minuten 9°30’
39 minuten 9°45’
40 minuten 10°
41 minuten 10°15’
42 minuten 10°30’
43 minuten 10°45’
44 minuten 11°
45 minuten 11°15’
45 minuten 11°30’
46 minuten 11°45’
48 minuten 12°
49 minuten 12°15’
50 minuten 12°30’
51 minuten 12°45’
52 minuten 13°
53 minuten 13°15’
54 minuten 13°30’
55 minuten 13°45’
56 minuten 14°
57 minuten 14°15’
58 minuten 14°30’
59 minuten 14°45’
60 minuten 15°

Graduale en decimale notatie (booggraden)

6’ = 0,1°
12’ = 0,2°
15’ = 0,25°
18’ = 0,3°
24’ = 0,4°
30’ = 0,5°
36’ = 0,6°
42’ = 0,7°
45’ = 0,75°
48’ = 0,8°
54’ = 0,9°
60’ = 1°

Over Babyloniërs en Grieken: rekenen in zestigtallen

In het verre verleden waren het oude beschavingen zoals die van de Babyloniërs, die de aarde als het middelpunt van het heelal beschouwden. Met de zon en de maan en de sterren die hun banen trokken. Vanuit het oogpunt van de Babyloniërs zag de sterrenhemel er na ongeveer 360 dagen precies weer zo uit als 360 dagen daarvoor. Net zoals de zon die na ongeveer 360 dagen weer in een oorspronkelijk positie kwam te staan. Immers, in de zomer staat de zon hoger aan de hemel dan in de winter. En de Babyloniërs zagen ook verschillen in oostelijke richting van de zonsopgang en de westelijke zonsondergang. Maar na ongeveer 360 dagen zagen de Babyloniërs de cyclus voltooid en zich herhalen. Met de aarde als ogenschijnlijk middelpunt van het heelal. Met als denkbeeldige draaipunten de ster Polaris ofwel de Poolster waar de sterrenformatie Grote Beer omheen cirkelt en de sterrenformatie het Zuiderkruis als tegenpool. Maar om die te zien is het wel nodig zuidwaarts te reizen. Tot voorbij de evenaar. Maar goed, de Babyloniërs telden een cyclus van driehonderdzestig dagen, dan was het kringetje rond van de  Zon en de sterren. Of de Babyloniërs al rekenden met een getallensysteem van 60 of dat het zestigvoudig getallensysteem een voortvloeisel is van de zonsomloop, dat blijft een vraag van ‘kip en ei’. Immers, 360 gedeeld door 60 maakt 6. Maar de Babyloniërs borduurden er wel op door, 1° is onder te verdelen in 60’, en 60° maal 60’ maakt 3600’.

De geschiedenis leert dat Alexander de Grote Babylonië heeft veroverd en dat de wijsheden van de Babyloniërs en hun sterrenkundigen de oude Grieken heeft weten te bereiken. Die op hun beurt het getallensysteem van rekenen met 360° hebben overgenomen en doorgegeven als een bruikbare methode voor het berekenen van cirkels, bollen en hoeken.

Zonsondergang 20 september 2019

Nautische mijlen, minuten, seconden en meters

In de maritieme navigatie worden afstanden weergegeven met met de Nautische mijl ofwel de Zeemijl, en snelheid ofwel de vaart wordt weergegeven in Knopen; een Knoop staat voor 1 Zeemijl/uur. De Nautische mijl is gebaseerd op 1/60 deel van een ° van de Evenaar ofwel de Equator, of anders gedefinieerd: 1/60 ° van een Grootcirkel grootcirkel van de aarde. De Engelse wiskundige Richard Norwood (+/-1590 – 1675) ging daarbij uit van de aarde als een perfecte bol. De Nautische mijl ofwel de Zeemijl vastgesteld op 1,852 kilometer ofwel 1852 meter. Geformuleerd: 1° van een Grootcirkel / 60 = 1 Zeemijl.

Meter

De oorsprong van de meter gaat uit van de volgende berekening van de Franse wiskundigen Jean-Baptiste Joseph Delambre en Pierre Méchain gedaan in 1795. Zij stelden: 1 meter is gelijk 1/10.000.000 deel van de Meridiaan van Parijs, gerekend van van de geografische noordpool tot aan de evenaar. Een kwart meridiaan meet dan 10.000 kilometer, een gehele grootcirkel zoals de evenaar meet dan 40.000 kilometer. Anders gezegd: 1 meter komt overeen met 1/40.0000.000 deel van de evenaar. (Er zijn ook andere definities van een meter, maar dit terzijde).

Zeemijl

Wanneer 40.000 kilometer gedeeld wordt door 360° volgt daaruit dat 1° overeenkomt met 111,111 kilometer. (40.000 / 360 = 111,111) Delen we 111,111 door 60’ dan is de uitkomst 1,85185185 kilometer. (111,111 / 60 = 1,851851). Afgerond is deze uitkomst vastgesteld op 1852 meter, de Nautische mijl ofwel de Zeemijl. Geformuleerd: 40.000.000/360°/60’ = 1.851,851851 meter.

Grootcirkels

De Evenaar is een Grootcirkel. Bij een Grootcirkel snijdt het vlak door het middelpunt door de aarde. Bij een Hydrografische kaart (zeekaart) in Mercatorprojectie wordt de afstand afgelezen aan de staande (Noord-Zuid georiënteerde)  kaartrand. Uitsluitend op de Evenaar (een grootcirkel) komt op een Hydrografische kaart in Mercatorprojectie een boogminuut overeen met een Zeemijl ofwel Nautische mijl. Hoe noordelijker of zuidelijker van de Evenaar verwijderd op een Oost-West gerichte koers, hoe meer Nautische mijlen er worden afgelegd per booggraad of per boogseconde.

GROOTCIRKEL Een Grootcirkel of orthodroom is een cirkel op een boloppervlak waarvan de straal gelijk is aan de straal van de bol. Dit betekent dat het middelpunt van alle Grootcirkels en van de bol samenvallen.

Graden, minuten, seconden, kabel

1′ (boogminuut) kan onderverdeeld worden in 60″ (boogseconden), maar kan ook verdeeld worden in decimalen van een boogminuut. 1° = 60′ = 3600″. (1*60*60 = 3600). Is op de staande kaartrand een boogminuut verdeeld in tien gelijke delen, dan omvat ieder tiende deel 6” Bij een verdeling in vijf gelijke delen dan omvat ieder deel 12″. Op een grootcirkel van de aarde komt 1” (boogseconde) overeen met 1851,851851 meter/60” = 30,86 meter.

Een tiende deel van een Zeemijl (afgerond 185 meter) wordt een ‘kabel’ genoemd, maar dat is een verouderde term en een aardig ‘weetje’.

Samenvatting

40.000 kilometer/ 360° = 111,111111 kilometer / 1°
111,111111 kilometer/ 60’ = 1,85185185 kilometer
Afgerond 1852 meter = 1 Nautische mijl (Zeemijl)
1 Zeemijl / uur = 1 Knoop

1° = 60′
1′ = 60″
1 = 60 minuten
1 minuut = 60 seconden

Notatie-varianten

52° 43′ 30″ ofwel 52° 43.5′
37° 14′ 15″ ofwel 37° 14,25′
68° 49′ 45″ ofwel 68° 49,75′

Omrekentabel

60” / 60 = 1’
54″ / 60 = 0,9’
48″ / 60 = 0,8’
45″ / 60 = 0,75’
42″ / 60 = 0,7’
36″ / 60 = 0,6’
30″ / 60 = 0,5’
24″ / 60 = 0,4’
18″ / 60 = 0,3’
15″ / 60 = 0,25’
12″ / 60 = 0,2’
6″ / 60 = 0,1’
3″ / 60 = 0,05’
1″ / 60 = 0,016’

HOOFDSTUK 4 Datumgrens

Datumgrens

Een opmerkelijke Meridiaan is de 0° Meridiaan van Greenwich, met in het verlengde de 180° Meridiaan. Gezamenlijk delen deze twee meridianen de aarde in twee halve bolvormen, het oostelijk en het westelijk halfrond. En gezamenlijk vormen deze twee meridianen een Grootcirkel, waarvan het vlak door het middelpunt van de aarde snijdt. Wanneer de zon de 0° Meridiaan van Greenwich passeert is het 12.00 GMT. Maar tegelijk is het op de meridiaan van 180° Middernacht ofwel 24.00 GMT / 0.00 GMT. Het begin en het einde van een dag.

Iedere nieuwe dag begint op de Datumgrens met 0.00 uur. Zo komt het dus ook dat wanneer het op de 0° Meridiaan van Greenwich 12.00 uur ‘s middags ‘Oudejaarsdag’ is,  dat het op de Datumgrens van 180° middernacht het ‘Nieuwe Jaar’ al is begonnen. De klok loopt aan de andere kant van de aarde 12.00 uur vooruit. Maar nog een halve wereldbol verder loopt de klok 24.00 vooruit!

Dat werd ook geconstateerd na de wereldomzeiling van de Portugees Fernão de Magalhães (Ferdinand Magelaan) wiens vloot onder Spaanse vlag gedurende 1519 tot 1522 in westelijke richting de wereld rondging. Volgens de logboeken van de teruggekeerde zeelieden (Magalhães ofwel Magellaan was daar niet bij, hij overleed in 1521 op de Filipijnen) kwamen zij op 6  september 1522 weer aan in Spanje. Maar volgens de kalenders aan land was het 7 september! Er moest dus ergens één dag bij de reis worden opgeteld, vanwege het reizen in westelijke richting ‘met de zon’ en met de tijdzones mee.

Dus stel, je bent op het oostelijk halfrond  in de Beringzee, en je passeert de Datumgrens en je komt op het westelijk halfrond. Dan ga je van de ‘maandag’ op het westelijk halfrond naar de ‘zondag’ op het oostelijk halfrond.

Wel is het zo dat de Datumgrens grotendeels over de Stille Oceaan loopt. Tijdens de ‘Internationale Nulmeridiaan Conferentie’ in 1884 zijn er een aantal ‘bochten’ in de Datumgrens aangebracht zoals om het uiterste oostpunt van Rusland tegenover Alaska en om de eilanden van de Aleoeten. Ook rond de Fiji-eilanden in de zuidelijk Stille Oceaan is zo’n bocht in de Datumgrens gemaakt. Om het overal in het land dezelfde dag te laten zijn.

Datumgrens in de Beringzee rondom de 180° Meridiaan
Geografisch coördinatenstelcel

HOOFDSTUK 5 Over de Evenaar

De Evenaar is de denkbeeldige lijn die de aarde in twee gelijke halve bolvormen verdeeld, het noordelijk- en het zuidelijk halfrond. Andere benamingen voor de Evenaar zijn de Evennachtslijn en de Equator. De Evenaar is een ‘Grootcirkel’, waarvan het vlak door het middelpunt van de aarde gaat en heeft daarmee de grootst mogelijke omtrek rondom het aardeoppervlak. Zoals ook de meridianen die in elkaars verlengde liggen en andere willekeurige ‘Grootcirkels’ met het snijvlak door het middelpunt van de aarde. Maar het uitzonderlijke van de Evenaar is dat het vlak van de Evenaar recht ofwel onder een hoek van 90° op de denkbeeldige aardas staat.

Onderwaterschip van de Cutty Sark, gelegen in Greenwich nabij de 0° Meridiaan. Deze Theeklipper is meermalen de Equator ofwel de Evenaar gepasseerd.

Relatieve snelheden 

De aarde draait in 23 uur, 56 minuten en 4 seconden rond haar denkbeeldige aardas. Hoe verder weg een punt op aarde is gelegen van de aardas, hoe groter de relatieve snelheid van dat punt. Ter illustratie: stel, een waarnemer gaat staan op de geografische Noordpool (of de geografische zuidpool), daar waar de denkbeeldige aardas het aardoppervlak snijdt, dan maakt deze waarnemer een ronde op de plaats in die 24 uur. Gaat deze waarnemer 10 meter van de geografische pool vandaan staan, dan gaat de waarnemer zich bewegen in een baan van 31,4 meter in 24 uur. Omgerekend 1,3 meter per uur. De omtrek van de aarde bedraagt 40.000 kilometer. Dat wil zeggen dat een waarnemer op de evenaar een (relatieve) snelheid heeft van 1666,66 kilometer per uur. Deze relatieve omtreksnelheidsverschillen (de aarde beweegt zich ook in een baan rondom de zon) hebben een aantal min of meer waarneembare effecten.

Afgevlakte polen De aarde is geen volmaakte bol, maar is aan de polen afgevlakt, als gevolg van de middelpuntvliedende kracht die aan de evenaar groter is vanwege de grotere omtreksnelheid. De langste van de evenaar wordt gesteld op 40.075 kilometer, waarmee de relatieve snelheid uitkomt op 1670 kilometer per uur.

Warmere streken De evenaar bevindt zich dichter bij de zon dan de andere delen van de aarde. Alhoewel de zon als warmtebron in de astronomische navigatie wordt beschouwd als ‘staande oneindig ver weg’ zijn de gemiddelde temperaturen op aarde rond de evenaar hoger dan op hogere breedten en de polen.

Corioles-effect Door het ‘Coriolis-effect’ en de verschillende omtreksnelheden op verschillende breedten ontwikkelen lagedrukgebieden op het noordelijk halfrond zich in een linksom draaiende beweging en op het zuidelijk halfrond in een rechtsom draaiende beweging. Bij hogedrukgebieden andersom.

Doldrums Zo wordt het oceaangebied genoemd van 10° Noorderbreedte tot 10° Zuiderbreedte, een gebied van zwakke en veranderlijk winden maar ook van windstilte. Ten tijde van de grote zeilvaart om ‘dol’ van te worden.

Kortdurende overgangen Door de hogere omtreksnelheid in de gebieden rond de evenaar verlopen de overgangen van de nacht naar de dag en andersom sneller, met andere woorden, de tijden van ochtend- en avondschemering zijn beduidend korter.

Gelijke perioden dag en nacht De dag en de nacht duren rondom de evenaar zo goed als even lang, het is ongeveer twaalf uur licht en twaalf uur donker, afgezien van relatie kleine variaties al naar gelang het seizoen. Lange zomeravonden en lange winternachten behoren toe aan de hogere breedten van de aarde.

Declinatie van de zon Een waarnemer op de evenaar kan de zon recht boven zich weten, maar ook in het zuiden of het noorden, afhankelijk van de tijd van het jaar. De meeste waarnemers op het noordelijk halfrond zien de zon rond de middag in het zuiden staan, de meeste waarnemers op het zuidelijk halfrond zien de zon rond de middag in het noorden.

Hemellichamen van oost naar west Waarnemers op en rondom de evenaar zien sterren meer een langgerekte boog aan de hemel afleggen van oost naar west vergelijkbaar met de zon, dan waarnemers op hogere breedten van de aarde. Daar bewegen sterren en sterrenformaties zoals de Grote – en Kleine Beer zich meer in een cirkel rond de Poolster.

Zichtbaarheid van Poolster en het Zuiderkruis In theorie zouden de Polaris ofwel de Poolster, en de sterrenformatie het Zuiderkruis vanaf een positie op de Evenaar aan de horizon te zien kunnen zijn, maar in de praktijk blijkt dat niet zo te zijn. De poolster wordt zichtbaar wanneer men zich noordelijker dan de Evenaar beweegt, het Zuiderkruis bij beweging naar het zuiden. De invloed van de atmosfeer waar men doorheen kijkt zijn mede oorzaken van de onzichtbaarheid van deze hemellichamen.

Aardas en Ecliptica

De denkbeeldige aardas staat gekanteld ten opzichte van het vlak van de Ecliptica, ofwel de baan van de aarde rondom de zon, bij benadering onder een hoek van 66°33′. Anders gezegd, de aardas staat bij benadering 90° – 66°33′ = 23°27’ schuin gekanteld. Dit maakt dat de zon ten opzichte van de aarde een Declinatie heeft van variërend 23°27’ noorderbreedte in de zomer van het noordelijk halfrond tot 23°27’ zuiderbreedte in de zomer van het zuidelijk halfrond. Rond 21 maart, het begin van de lente voor het noordelijk halfrond is de zonsdeclinatie 0° en bevindt de zon zich om rond de middag voor de waarnemer op de Evenaar recht boven zich. De Declinatie wordt meer en meer noordelijk.  Rond 21 september wederom, het begin van de herfst voor het noordelijk halfrond, de Declinatie van de zon wordt meer en meer zuidelijk.

Declinatie van de zon

HOOFDSTUK 6 Declinatie van de zon

Hoe zou het zijn om te leven in een land waar de zon niet meer schijnt? En hoe zou het zijn om te wonen in een land waar het altijd licht is? In het hoge noorden weten de mensen ervan! Denk aan Lapland, Svalbard en het noorden van Canada, Groenland en Siberië, gelegen boven de Poolcirkel, waar de ‘Midzomernachtzon’ en de ‘Poolnacht’ wordt gekend. Bij de Midzomernachtzon is de zon tijdens de nacht zichtbaar en blijft het ook licht. In de Poolnacht komt de zon de gehele dag niet boven de horizon uit en blijft het gedurende het gehele etmaal donker. Als gevolg van de helling van de aardas onder een hoek van 23°30’ ten opzichte van het vlak van de Ecliptica ofwel de baan van de aarde rond de zon.

Midzomernachtzon waargenomen noordelijk van de noordelijke Poolcirkel
Declinatie van de zon

Kreeft- en Steenbokskeerkring 

Vandaar dat de zon dagelijks op hetzelfde tijdstip op verschillende hoogten boven de horizon wordt waargenomen. We noemen dit de Declinatie van de zon, ofwel de booghoek tussen het vlak van de aardse Evenaar en het vlak van de Eclips, de baan van de aarde om de zon. In de zomer van het noordelijk halfrond klimt de zon gezien vanaf de aarde tot de hoogte van het sterrenbeeld Kreeft, in de winter daalt de zon tot de hoogte van het sterrenbeeld Steenbok. De parallellen ofwel de breedtegraden tot waar de zon op aarde klimt worden daarom de Kreeftskeerkring en de Steenbokskeerkring genoemd.

Evenaar, Keerkringen en Poolcirkels

Declinatietabellen

Rond 21 december bedraagt de Declinatie van de zon 23° zuid, dan begint de zon (ogenschijnlijk voor ons ‘waarnemers’) te klimmen tot 0° ofwel ter hoogte van de Evenaar op 21 maart, dan verder naar de hoogte van 23° noord rond 21 juni, waarna de zon weer gaat dalen. Rond 21 september is de Zonsdeclinatie weer 0° om verder te dalen naar 23° zuid waarna de jaarlijkse cyclus zich herhaald. Gemiddeld kan worden gesteld dat de dagelijkse verandering 1/4° bedraagt (365 dagen gedeeld door 2 maal 23°), is de Declinatie ook af te leiden uit grafieken, maar voor de nauwkeurigheid in de astronomische navigatie zijn actuele Declinatietabellen beter.

Noordelijke en zuidelijke declinatie van de zon

Trekken we een lijn van de zon naar het middelpunt MP van de aarde, dan vinden we daar waar die lijn het aardoppervlak snijdt de Aardse Projectie van de zon uitgedrukt in geografische coördinaten.

Aardse Projectie van de Declinatie van de zon

 

Declinatietabel voor een geheel jaar

HOOFDSTUK 7 Tijdsvereffening

Wanneer de zon exact in het zuiden staat bevinden we ons op dezelfde meridiaan als de zon. Maar wanneer we dit tijdstip vergelijken met een nauwkeurig uurwerk blijkt daar variatie in te zijn. Soms loopt de zon voor op de tijd, soms achter. Er blijkt een regelmatig en jaarlijks patroon te zijn. Belangrijk om te weten bij het zonshoogte meten tijdens de Transit, de doorgang van de zon op haar hoogtepunt recht in het zuiden.

Kermisattractie 

Stel je een kermisattractie voor, een ronde schijf met het draaipunt in het midden, en op de rand gondels die op hun eigen as ronddraaien. Zittende in één van de gondels maak je dan pirouettes terwijl je rondgaat in een cirkel. Bevindt je zitplaats zich tijdens het maken van de pirouettes aan de buitenrand, het verst van het draaipunt vandaan, dan maak je daar een bepaalde snelheid ten opzichte van de omgeving. Bevindt de zitplaats zich in de binnenbocht, dan is de snelheid lager vanwege de kleinere straal naar het middelpunt van de attractie. En lager omdat de beweging in de pirouette tegengesteld is aan de draairichting van de schijf waarop de gondels draaien.

Zie hier een eerste voorstelling van het zonnestelsel waarin de aarde maar ook andere planeten in een continue snelheid cirkelen rondom de zon. Alsof de Schepper van hemel en aarde een zwaai heeft gegeven aan een draaitol (de aarde) en die draaitol heeft neergelaten op een ronddraaiende schijf (de Ecliptica)

Elliptische baan van de Aarde om de zon

Exentrische kermisattractie 

Maar stel nu eens dat het draaipunt van de grote draaischijf excentrisch is geplaatst. Dus buiten het middelpunt van de draaischijf. Dan maakt het verschil in welke gondel je gaat zitten. Zittende in een gondel dichter bij het draaipunt maak je korte langzamere bochten terwijl je pirouettes maakt. Maar ga je zitten in een gondel verder van het draaipunt af, dan maak je lange snellere bochten tijdens het maken van je pirouettes. Terwijl de draaischijf draait met een constant aantal omwentelingen per minuut. Ieder punt op de draaischijf maakt hetzelfde aantal omwentelingen per minuut. Maar een gondel verder van het draaipunt af legt een grotere afstand af in dezelfde tijd.

De Ecliptica, de baan van de aarde rond de zon is geen volmaakte cirkel, maar een ellips, een wat opgerekte cirkel. Waarbij de aarde wisselend is voor te stellen als de gondel dichterbij, verder weg of ergens tussenin van het draaipunt verwijderd. De omwentelingssnelheid van de aarde (1 omwenteling in 23 uur 56 minuten 4 seconden) om haar as (de pirouettes) is constant. De omwentelingssnelheid van de aarde om de zon (de draaischijf) is ook constant (1 omcirkeling  in 365 dagen en 6 uur). Maar de hoeksnelheden variëren, het aantal doorlopen booggraden per tijdsduur,  die zijn afhankelijk van waar de aarde zich in haar baan bevindt. De hoeksnelheid is daarin het aantal graden dat per tijdseenheid wordt doorlopen.

RADIAAL Een radiaal is de grootte van een middelpuntshoek van een cirkel waarvan de lengte van de boog gelijk is aan de lengte van de straal (radius).

HOEKSNELHEID in graden ω = 360° / Tijdseenheid

Eerste en tweede Wet van Johannes Keppler (1571-1630)

EERSTE WET VAN KEPPLER Planeten bewegen zich in elliptische banen rond de zon. De zon bevindt zich in één van de brandpunten van zo’n elliptische baan.

TWEEDE WET VAN KEPPLER De voerstraal zon-planeet beschrijft in gelijke tijden sectoren met een gelijk oppervlak.

Uurhoek

Stel, je zit in een gondel van de kermisattractie. En stel dat er boven het draaipunt van de grote schijf een zuil met licht staat. Zittende in de gondel zit je dan soms met je rug naar het licht toe, kijk je naar de voorbijrazende omgeving, maar dan weer draait je gondel zich naar het licht, zit je met je rug naar de omgeving toe. Maar achter het licht zie je steeds weer een stukje verder verschoven een ander deel van de omgeving. Waarmee ook weer een stukje tijd is verstreken, de bocht was immers net wat langer. Terwijl de gondel ten opzichte van de draaischijf in dezelfde stand staat en met dezelfde omwentelingssnelheid ronddraait. Denk aan de excentrische draaischijf, het maakt verschil in moment en zicht in welke gondel je zit!

Ons zonnestelcel lijkt zich te gedragen een uurwerk …

Ook hier de vergelijking met de aarde. Kijkende naar de zon zien we geen sterrenhemel. Maar die is er zeker wel. Maar de sterrenhemel, de omgeving zien we wel met onze rug naar de zon. Door de baan om de zon en het draaien van de aarde zien we gedurende het jaar de sterrenhemel verschuiven, en zien we dagelijks op hetzelfde tijdstip een stukje andere sterrenhemel. Jaar in, jaar uit. Maar op welke afstand van de zon, het draaipunt bevinden we ons? Tot zover een uitleg over het begrip Tijdsvereffening. Gelukkig voor de navigator af te lezen in grafieken en tabellen: loopt de zon voor of achter ten opzichte van de klok?

‘Scheepsmiddag’ kan daarmee eerder of later vallen dan het uurwerk. En daarmee ook het moment van de zonshoogte meten, het ‘zonnetje schieten’ rondom het middaguur. En daarmee de uitkomst van waar we ons bevinden, zowel op de lengtegraad als op de breedtegraad.

Tijdsvereffening, het resultaat van de elliptische baan van de aarde om de zon en de helling van de aardas

INLEIDING OP DE ZONSHOOGTEMETING

Hoogtemeting en afstandbepaling

Freiberger sextant

SOSCASTOA

Sinus, Cosinus, Tangens tabel, bruikbaar bij astronomische – en kustnavigatie.
Afstand uit hoekmeting en Dip-correctie

SOSCASTOA, dat was het geheugensteuntje bij wiskunde op de middelbare school, als het ging over de sinus, de cosinus en de tangens. Eenvoudig gezegd: de verhoudingen tussen de lengten van de zijden van rechte driehoeken, waarmee ook de hoeken van driehoeken in booggraden berekend konden, of andersom.

De sinus van een hoek is de lengte van de overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde, de cosinus van een hoek de lengte van de aanliggende zijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde, en de tangens de overstaande zijde gedeeld door de lengte van de aanliggende zijde. Zie de letters van het geheugensteuntje. Uit de deling komt een getal dat opgezocht kan worden in een sinus-cosinus-tangens tabel waar een hoek in booggraden uit volgt, of met een calculator omgezet evenzo via de functie ‘inversie’.

In de ‘Lichtenlijst’ maar ook op de zeekaart kunnen de hoogtes van lichtopstanden en vuurtorens worden teruggevonden. Zie daar een praktische toepassing van de sinus, de cosinus en de tangens. Wanneer we de hoogte meten kan vandaaruit de afstand tot het lichtopstand berekenen. Old-School, dat is waar. Maar hier aangehaald als de basis van de astronomische navigatie.

Sinus = Overstaande lengte / Schuine lengte

Cosinus = Aanliggende lengte / Schuine lengte

Tangens = Overstaande lengte / Aanliggende lengte

Stel, we meten met het sextant een ‘hoogte in booggraden’ van een object van 5°30’. De tangens van 5°30’ is volgens de tabel (0,078 + 0,105)/2=0,0915

Tan H° = Hoogte object / Afstand tot object
0,0915 = 45 meter / Afstand tot object
Afstand tot object = 45 / 0,0915
Afstand tot object = 491,8 meter

1 Zeemijl = 1852 meter
1852 / 491,8 = 3,76
1 / 3,76 = 0,26 Zeemijl

Afstand (meters) = h (meters) / tan H°

In welke richting?

Afstand door hoogtemeting

Maar stel nu eens dat er meerdere waarnemers zijn die een hoogtemeting doen op hetzelfde lichtopstand. En dat zij allen dezelfde hoek in booggraden meten. Dan betekent dit dat zij zich allemaal op dezelfde afstand van het lichtopstand bevinden. Als het ware een cirkel rondom het lichtopstand.

De vraag is dus niet alleen ‘op welke afstand bevinden wij ons van het lichtopstand?’ Maar ook ‘In welke richting nemen wij het lichtopstand waar?’ Wanneer we dat weten, kunnen wij onze positie intekenen in de kaart. Bovenstaande vergelijking is het principe van de astronomische navigatie. Waarin we de hoogte en de richting bepalen, niet van een lichtopstand maar van een hemellichaam.

Dip correctie (ooghoogte en kimrefractie)

In de tekening is ook aangegeven dat de waarnemer zich niet geheel op zeeniveau bevindt, het referentievlak van vuurtorens en lichtopstanden. Vandaar dat de ‘Dip’ verrekend moet worden om te komen tot een secure hoogtemetingen. De Kimrefractie  is overigens een ander fenomeen, dat is de afbuiging van onze waarneming met de bolvorm van het aardoppervlak mee. Bij deze genoemd.

Ooghoogtecorrectie

5 voet / 1,5 meter correctie 2′
10 voet / 3 meter correctie 3′
15 voet / 4,5 meter correctie 4′
25 voet / 7,5 meter correctie 5′
40 voet / 12 meter correctie 6′

BRON: David Master Sextants Mark 15 Mark 25

Dip correctie waarin de kimrefractie:

0.7m 1.5’
0.8m 1.6’
0.9m 1.7’
1 m 1.8’
1.2m 1.9’
1.3m 2’
1.4m 2.1’
1.6m 2.2’
1.7m 2.3’
1.8m 2.4’
2m 2.5’
2.2m 2.6’
2.3m 2.7’
2.5m 2.8’
2.7m 2.9’
2.9m 3’
3.1m 3.1’
3.3m 3.2’
3.5m 3.3’
3.7m 3.4’
3.9m 3.5’
4.2m 3.6’
4.4m 3.7’
4.6m 3.8’
4.9m 3.9’
5.1m 4’
5.4m 4.1’
5.6m 4.2’

HOOFDSTUK 8 Scheepsmiddag en Middagbreedte 

Bij deze een geruststelling: het bepalen van de Middaglengte aan de hand van de stand van de zon is ingewikkelder dan het bepalen van de Middagbreedte. En een persoonlijke ontboezeming: het principe van het navigeren met een sextant is voor mij lange tijd een bijna magisch raadsel geweest. Hogeschool zeevaartkunde. Stuurlieden, kapiteins en wereldomzeilers die de kunst van het ‘zonnetje schieten’ beheersten zag ik aan met ontzag en bewondering. Al van jongs af aan leerde ik sturen en peilen op het kompas. Koersen en posities in de kaart zetten geen probleem. De Satellietnavigator (GPS) biedt een zee aan informatie. Maar na verschillende boekwerken erop nageslagen te hebben is de kunst van het zonnetje schieten mij gaan dagen. Voor de kenners: ben van een Ebbco oefenssextant naar de Davis Mark 15 naar een professioneel Freiberger sextant gegaan. Met inmiddels betrouwbare resultaten.

Freiberger Sextant

Voor mij is de grote eye-opener geweest dat alle ingewikkelde berekeningen die ik mijn zeehelden zag maken gebaseerd is op dit ene eenvoudige sommetje:

Middagbreedte ° = 90° minus de zonshoogte ° boven de horizon

Is dat alles? Ja, dat is alles! Op voorwaarde dat zon en waarnemer zich op dezelfde meridiaan bevinden. Op het tijdstip dat de zon door het hoogste punt gaat op die plaats op dat moment: de Zonsdoorgang ofwel de Transit. Natuurlijk, er komt nog een hele lijst andere factoren bij om tot een nauwkeurige Middagbreedte te komen, zoals het verrekenen van de Zonsdeclinatie, de ooghoogte correctie, de parallax correctie, de halve middellijn correctie, de refractie en de indexcorrectie, het rekenen met begrippen als Ware Horizon, Waarneembare horizon, de Normaal, het Zenit en de Azimut, om maar wat termen te gebruiken, maar het bovenstaande sommetje is de sleutel tot het mysterie van het ‘zonnetje schieten’: Middagbreedte in ° = 90° – Zonshoogte in °

HOOFDSTUK 9 Middagbreedte in theorie

Hoe ingewikkeld de astronomische plaatsbepaling ook moge lijken, de Middagbreedte bepalen aan de hand van de zon die door haar hoogste punt gaat, de eenvoudige basisformule luidt ‘Breedte AW ° = 90° – Zonshoogte Ho °’.

Aarde het middelpunt?

Maar eerst een misverstand wegwerken: de aarde bevindt zich in een baan om de zon. Maar voor de astronomische navigatie doen we alsof de aarde het middelpunt van het heelal is, en alsof de zon rond de aarde draait. Maar de werkelijkheid is anders, de aarde draait om de zon en het zonnestelsel bevindt zich ergens in het heelal, iedere ster aan de hemel is weer een schitterend hemellichaam op zich. Mooi is hoe astronauten de aarde vanuit de ruimte beschrijven: Door afstand van de aarde te nemen ervaren ze nabijheid. De aarde nabij willen zijn in alle kwetsbaarheid, die kleine kern van kwetsbaar leven met die flinterdunne atmosfeer in het immense heelal. Dit gezegd hebbende: in de astronomische navigatie beschouwen ’tegen beter weten in’ de aarde als middelpunt van het heelal.

Formulering

Nu het sommetje: ‘Breedte AW° = 90° – Zonshoogte Ho°’. Stel dat de Aangenomen Waarnemer AW zich bevindt ergens op een zekere breedtegraad. En met een sextant meet deze rond het middaguur met de zon recht in het zuiden op haar hoogste punt een bepaalde waarde. Een Zonshoogte Ho van 37°30’, de booghoek tussen de zon en de kim. Uitgewerkt in de formule wordt het dan Breedte AW ° = 90° – 37°30’, Breedte AW = 52°30’.

Breedtegraad 

Deze uitkomst is de (gemiddelde) breedtegraad van Nederland, maar ook Canada, de Aleoeten, en een groot deel van Rusland en Europa liggen rondom de 52e en 53e breedtegraad. Maar de illustratie maakt het inzichtelijk: links de aarde als het ware doorgesneden over een meridiaan, en rechts de zon in het vlak van de aardse evenaar. Zoals dit zich voordoet op 21 maart en 21 september. De Declinatie van de zon is 0°, dus deze hoeft niet verrekend te worden.

Normaal, Zenit, Schijnbare Horizon, Zonshoogte 

De Aangenomen Waarnemer AW staat in de lijn die de Normaal wordt genoemd. Recht boven de Aangenomen Waarnemer bevindt zich zijn/haar Zenit. Vanuit het Zenit loopt de Normaal naar het Middelpunt MP van de aarde. De zon wordt in de astronomische navigatie beschouwd als een oneindig ver weg staand hemellichaam. De Aangenomen Waarnemer neemt boven zijn/haar (schijnbare) horizon die loodrecht op de Normaal staat een Zonshoogte Ho° waar, van 37°30’. Tussen het Zenit van de Aangenomen Waarnemer en de zon bevindt zich de Zenithoogte Zd°. De Zenithoogte is gelijk met de Breedte AW°.

Principe van de Middagbreedte

ZENIT Het Zenit is het denkbeeldige punt in de hemelsfeer recht boven de Aangenomen Waarnemer. De Normaal van de Aangenomen Waarnemer snijdt het Middelpunt van de aarde en reikt naar het Zenit. Alleen op de geografische posities op en tussen de Kreefts- en Steenbokskeerkring kan de zon in het Zenit van een Aangenomen Waarnemer staan.

Declinatie

Maar de zon staat niet altijd recht boven de Evenaar: vaker in meer of mindere mate noordelijk of zuidelijk van de Evenaar. Dan dient de Declinatie verrekend te worden. Bij een noordelijke Declinatie van de zon zal de Aangenomen Waarnemer een hogere zonshoogte Ho° meten. Bij een noordelijke Declinatie dient deze te worden afgetrokken. Bij een zuidelijke Declinatie dient deze te worden opgeteld om tot de correcte breedte te komen. Dan neemt de Aangenomen Waarnemer een lagere zonshoogte Ho° waar. De formule wordt dan uitgebreid tot:

Breedte AW ° = (90° – Zonshoogte Ho °) +/- Declinatie °

Breedte AW° = Zenitafstand ° +/- Declinatie °

b AW° = (90° – Ho °) +/- Decl °

b AW° = Zd ° +/- Decl °

Noordelijke en zuidelijke declinatie van de zon

HOOFDSTUK 10 Aardse Projectie

Stel, je weet zeker zich te bevinden op het Noordelijk Halfrond en boven de Kreeftskeerkring, je ziet de zon recht in het zuiden, meet de zonshoogte, past het sommetje toe van 90° minus de zonshoogte en verrekend de Declinatie en als op een presenteerblaadje is daar de Middagbreedte. Maar laten we eens wat dieper op de materie ingaan.

Of je bent er zeker van op het zuidelijk halfrond te zijn, neemt de zon rond het middaguur in het noorden waar, we weten ook zuidelijk van de Kreeftskeerkring te zijn, ruim zuidelijker dan 23°. Het is 23 maart en lezen in de tabel de Declinatie af van 1°03’ Noord die we verrekenen in de formule AW bˆ = 90ˆ – Hoˆ – 1°03’ waar onze Middagbreedte uitkomt.

Aardse Projectie met Hoogteparallel, Aangenomen waarnemers en hun Zenit
Afstand door hoogtemeting
De Ware Peiling op de Aardse Projectie van de zon

Hoogteparallel

In de tekening hierboven zien we in het midden van de cirkel de Aardse Projectie AP van de zon op het aardoppervlak aangegeven door de rode lijn. Deze rode lijn loopt denkbeeldig door het middelpunt MP van de aarde. De Aardse Projectie AP ligt op het snijvlak met het aardoppervlak. De cirkel waarop de Aangenomen Waarnemers zich bevinden is een Kleincirkel en wordt genoemd de ‘Hoogteparallel’. Aangenomen Waarnemer 1 meet daarbij een bepaalde Zonshoogte Ho °, en bevindt zich op een bepaalde meridiaan, waarvan het vlak van deze Grootcirkel het Middelpunt van de aarde snijdt. Alle Aangenomen Waarnemers nemen de zon waar onder dezelfde Zonshoogte Ho °. Alle Aangenomen Waarnemers bevinden zich tot dezelfde afstand tot de Aardse Projectie AP van de zon. Maar de Aangenomen Waarnemers hebben wel allen hun eigen Zenit.

HOOGTEPARALLEL Onder de Hoogteparallel verstaan we de verzameling van alle waarnemers die van hetzelfde hemellichaam op hetzelfde tijdstip dezelfde ware hoogte vinden.

AARDSE PROJECTIE Onder de aardse projectie van een hemellichaam verstaan we het snijpunt van de lijn van middelpunt hemellichaam tot middelpunt Aarde met het aardoppervlak.

Grootcirkels

Zoals Aangenomen Waarnemer 1 zich op een meridiaan (een Grootcirkel) bevindt, zo bevinden AW 2, AW 3, AW 4, enzovoort zich eveneens ieder op eigen Grootcirkels. De lijn van een Aangenomen Waarnemer tot de Aardse Projectie van het hemellichaam is een deel van een Grootcirkel. Van Grootcirkels weten we dat hun vlak het Middelpunt van de aarde snijden. En dat de afstanden die Grootcirkels volgen in booggraden zijn weer te geven. Daarbij: de afstand van de Aangenomen Waarnemers op de Hoogteparallel tot de Aardse Projectie van het hemellichaam zijn allen gelijk.

b AW ° = (90° – Ho °) +/- Decl °

Stel, Aangenomen Waarnemer 1 meet een zonshoogte Ho van 47° 30’ bij een noordelijke Declinatie van 10°. Waarvan de uitkomst is Breedte AW 1 = 90° – 47°30’ + 10° = 52°30’ Noorderbreedte. Hieruit is de afstand in booggraden van AW 1 tot de GP van de zon te berekenen: Breedte AW 1 (52°30’) minus de Declinatie (10° Noord) maakt een afstand van 42°30’. Maal zestig een afstand van 2550 Zeemijl. Daar heb je een hele grote zeekaart voor nodig … maar we weten wel: iedere Aangenomen Waarnemer uit het voorbeeld heeft dezelfde Ho ° gemeten. En van iedere Aangenomen Waarnemer is de afstand tot de Aardse Projectie van de zon 2550 Zeemijl. Ofwel 42°30’ over een Grootcirkel.

Hoogtemeting Ho

VLAK VAN DE WARE HORIZON Het vlak van de ware horizon is het vlak dat door het middelpunt MP van de aarde om gaat en loodrecht op de Normaal van de Aangenomen Waarnemer AW staat.

VLAK VAN DE LOKALE HORIZON Het vlak van de lokale horizon is het vlak dat loodrecht op de Normaal van de Aangenomen Waarnemer AW staat en waargenomen wordt door AW.

Kijkende naar Aangenomen Waarnemer 5, deze bevindend zich op de Hoogteparallel zuidelijk van de Aardse Projectie van de zon: 42°30’ zuidelijker dan de Aardse Projectie welke ligt op 10° Noord, de Declinatie. AW 5 bevindt zich dus op 42°30’ – 10° = 32°30’ Zuiderbreedte. Nogmaals: om deze posities in kaart te brengen, daar heb je een hele grote zeekaart voor nodig …

Maar wat is nu het aardige? Met iedere ons bekende Aardse Projectie van een hemellichaam zoals de zon en de sterren hebben we een markering om op te peilen! Geografische Posities (Aardse Projecties) die we kunnen opmaken uit Greenwich Mean Time en de Declinatie van de zon op de betreffende dag. Gelegen op dezelfde Grootcirkel als onszelf, wanneer we de hoogte Ho ° van dat betreffende hemellichaam meten.

HOOFDSTUK 11 Gedonder in de glazen

‘Gedonder in de glazen’, van dit gezegde wordt verondersteld dat het afkomstig is van het ‘donderglas’ ofwel een ‘waterbarometer’, bestaande uit een bolvormig lichaam met een tuit half gevuld met water. De ruimte boven het water is een afgesloten geheel, van onder uit het donderglas loopt er een tuit naar boven in open verbinding met de buitenlucht. Bij een hoge luchtdruk staat het water laag in de tuit, tegen de waterdruk in het donderglas in. Maar dient zich een lagedrukgebied ofwel een depressie aan, dan loopt de tuit over, en is er wind en regen en wisselvallig weer, misschien wel storm te verwachten. ‘Gedonder in de glazen’

Glazen slaan

‘Glazen slaan’, die uitdrukking is ook afkomstig uit de scheepvaart. Voor de komst van het uurwerk ofwel de chronometer aan boord van (zeil)schepen las men de tijd af van zandlopers, evenals ‘donderglazen’ een glazen instrument, bestaande uit twee glazen bollen met elkaar verbonden door een smalle opening, en deels gevuld met zand. Het leeglopen van het bovenste deel van de zandloper duurde een half uur, tijd om de zandloper om te draaien. Op dat moment werd er op de scheepsbel het eerste ‘glas geslagen’, ieder half uur een glas erbij, na en wacht van vier uur werden er ‘acht glazen’ geslagen. Dan kwam de nieuwe wacht op en begon men weer met ‘één glas’.

Belangrijk om te weten hoe laat het is! Niet alleen voor de dagindeling van aan dek zijn en rusten, eten en drinken, maar ook voor de navigatie, om op tijd, tijdens ‘Scheepsmiddag’ de ‘zonshoogte’ te meten. Want stel nu eens dat een dienstdoende wacht bij de zandloper in een onbewaakt nachtelijk uur een dutje deed, en zich versliep, de zandloper al een tijdje ‘leeg’. Je kunt dan wel doen alsof er niets aan de hand is en de zandloper lucratief omkeren en je verder van de domme houden … Maar de stuurlui en de schipper kun je horen brommen! De ‘acht tot twaalf’ wacht slaat acht glazen, maar de zon is al lang en breed door het zuiden gegaan!

Je zult maar onderweg zijn naar een nauwelijks verlicht eiland midden in de oceaan! En al dagen geen fatsoenlijke zonswaarneming hebben kunnen doen vanwege bewolking. Wie is de zandloper vergeten!? Of volgens gegist bestek vermoeden dat je een onbekende kust aan gaat lopen, maar of dat bij dag of nacht zal zijn is de vraag. Of weten van rotsen aangetekend in de kaart, een rif dat je hoe dan ook wilt omzeilen … Letterlijk en figuurlijk: ‘Gedonder in de glazen!’

HOOFDSTUK 12 Lokale Uurhoek

Bij de dagelijkse routine tijdens een oversteek hoort het bijhouden van het Gegist Bestek ofwel de Dead Reckoning, door middel van de astronomische plaatsbepaling in kaart gebracht tot een Meest Waarschijnlijke Standplaats. Stel dat dagelijks rond het middaguur de Zonshoogte wordt gemeten, dan zal daar een zeker patroon in worden waargenomen. Wat het tijdstip van de Zonsdoorgang betreft, waarin de zon door haar hoogste positie van die dag gaat, het patroon van het tijdstip, voor of na 12.00 Scheepsmiddag. Wat de Declinatie betreft eveneens een dagelijks verloop van een toenemende of afnemende waarde.

Boldriehoek

Door het weten van de Aardse Projectie van een hemellichaam zoals de zon is het mogelijk om uit de gemeten zonshoogte een positie te destilleren, zonder dat de zon zich bevind op dezelfde meridiaan als de Aangenomen Waarnemer. Door te weten op welk tijdstip de zon een nabijgelegen meridiaan passeert is van daaruit een Meest Waarschijnlijke Standpunt te bepalen.  En wel door middel van de Cosinusregels van Boldriehoeken.

Cosinusregel voor boldriehoeken

Eerste Cosinusregel voor boldriehoeken

cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A
cos b = cos c * cos a + sin c * sin a * cos B
cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos C

Tweede Cosinusregel voor Boldriehoeken

cos A = cos B * cos C + sin B * sin C * cos a
cos B = cos C * cos A + sin C * sin A * cos b
cos C = cos A * cos B + sin A * sin B * cos c

De boldriehoek wordt in het bovenstaande gevormd door de driehoek Noordpool Pn, een Aardse Projectie A en een Aangenomen Waarnemer B. De afstand van APn is 90° – Declinatie °, de afstand van BPn = 90° – breedte AW ° . Door middel van de Eerste en de Tweede Cosinusregel kunnen onder andere de Ware Peiling van de Aardse Projectie B berekend worden, hoek A° en de afstand AB°Met de Eerste Cosinusregel kan de afstand AB berekend worden:

cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos C
cos AB = cos BPn * cos APn + sin BPn * sin APn * cos Δ Pn°

Met AB is de afstand van de Aangenomen Waarnemer tot de Aardse Projectie van het hemellichaam berekend. Een berekende afstand tot d3 Dead Reckoning, dus nog geen Meest Waarschijnlijke Standpunt. Maar met het bekend zijn van de afstand AB, welke evenals APn en BPN deel zijn van een Grootcirkel en daarmee weer te geven in ° ‘ “ kan opnieuw met de Eerste Cosinusregel hoek A berekend worden, te herleiden tot een ware peiling.

cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A
cos BPn = cos APn * cos AB + sin APn * sin AB * cos A

Voorbeeldberekening

Gegeven:

AW volgens DR = 63°N en 35°W
Aardse Projectie volgens tabel 21°N 40’W

Gevraagd:

Afstand AW tot AP
Ware Peiling AP

Oplossing:

cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos C
cos c=cos(90°-63°) * cos(90°-21°) + sin(90°-63°)*sin(90°-21°)*cos(40°-35°)

cos c = cos 27° * cos 69° + sin 27° * sin 69° * cos 5°
cos c = 0,891 * 0,358 + 0,454 * 0,934 * 0,996
cos c = 0,318 + 0,424 * 0,996
cos c = 0,318 + 0,442
cos c = 0,740 inversie
c = 42° * 60’ = 1260’

AW tot AP = 42° maakt 2520 Zeemijl

Deze afstand van AB = 42° is deel van een Grootcirkel. Van hieruit kunnen we ook de Hc, de berekende Zonshoogte vanuit AW bepalen, namelijk Hc = 90° – 42° = 48°, de hoogte die we volgens berekening zouden meten.

Berekening Ware Peiling T (‘T’ staat voor ‘Transit’)

cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A
cos(90°-63°)=cos(90°-21°)*cos(90°-42°)+sin(90°-21°)*sin(90°-42°)*cos A
cos 27° = cos 69°* cos 48° + sin 69°* sin 48° * cos A
0,891 = 0,358 * 0,669 + 0,934 * 0,743 * cos A
0,891 = 0,239 + 0,693  * cos A
0,693 * cos A = 0,891 – 0,239
0,693 * cos A = 0,652
cos A = 0,652 / 0,693
cos A = 0,940 inversie
A = 20°

Ware Peiling Aw tot AP T = 20°

Local Hour Angle, Lokale Uurhoek

Stel, we bevinden ons volgens de Dead Reckoning DR op 52° Noord en 25° West. De Aardse Projectie van de zon verplaatst zich met een snelheid van 15° per uur ofwel 1° per vier minuten over het aardoppervlak. Om vanaf de 0° Meridiaan van Greenwich de 25°e breedtegraad te bereiken heeft de aarde 25° maal 4 minuten nodig. De ‘Tijdsvereffening’ achterwege latend vind de Transit om 13.40 GMT plaats boven de meridiaan van 25° West.

Op de meridiaan van 20° West vind de Transit om om 13.20 GMT plaats, 20° maal 4 minuten na 12.00 GMT. Op de meridiaan van 30° West culmineert de zon op 14.00 GMT. De meridianen zijn te beschouwen als ‘Lokale Uurhoeken’ afgekort LHA, Local Hour Angle.

Samengevat:

13.20 GMT Transit 20° West
13.40 GMT Transit 25° West
14.00 GMT Transit 30° West

Daarbij geldt:

De Ware Peiling van AW naar AP 13.20 GMT verloopt langs een Grootcirkel,
niet zijnde een meridiaan, een booggraad meet 60 Zeemijl.

De Ware Peiling van AW naar AP 13.40 GMT verloopt langs een Grootcirkel,
een meridiaan waarop iedere booggraad 60 Zeemijlen bevat.

De Ware Peiling van AW naar AP 14.00 GMT verloopt langs een Grootcirkel,
niet zijnde een meridiaan, een booggraad meet 60 Zeemijl.

Bij de bepaling van de Middagbreedte in ° tijdens een Transit (zonsdoorgang) is uitgelegd dat de de Zenithoogte Zd ° bepalend is voor de breedte waarop de Aangenomen Waarnemer zich bevindt. En dat de Aangenomen Waarnemer en de Aardse Projectie van het hemellichaam zich op dezelfde meridiaan, dus op dezelfde Grootcirkel bevinden.

Grootcirkel en ‘Hoogtekromme’

Dit laatste gaat ook op voor andere zonswaarnemingen. De Aangenomen Waarnemer en de Aardse Projectie van het hemellichaam bevinden zich op dezelfde Grootcirkel. Waarbij de Normaal van de AW het Middelpunt van de aarde snijdt en gericht is op het Zenit van de AW. De aangenomen Waarnemer meet een zonshoogte Ho °, waaruit volgt: 90° – Ho ° = Zd ° waaruit de boogafstand van een Aangenomen Waarnemer tot de Aardse Projectie van het hemellichaam is te berekenen. De Hoogtekromme is daarin het deel van de Hoogteparallel in de nabijheid van het Meest Waarschijnlijke standpunt of de Dead Reckoning DR.

HOOGTEKROMME Onder de Hoogtekromme verstaan we de afbeelding van de Hoogteparallel in de wassende kaart.

HOOGTEPUNT Onder het Hoogtepunt verstaan we het snijpunt van de verbindingslijn van de de Aardse Projectie met de Hoogteparallel.

HOOGTELIJN Onder de Hoogtelijn verstaan we de raaklijn in het Hoogtepunt aan de Hoogteparallel.

 

Stel: een Aangenomen Waarnemer meet een zonshoogte Ho = 78°
90° – 78° = 12° * 60’ = 720 Zeemijl: de Afstand tot de Aardse Projectie.

Stel: een Aangenomen Waarnemer meet een zonshoogte van Ho = 64°
90° – 64° = 26° * 60’ = 1560 Zeemijl: de Afstand tot de Aardse Projectie.

Stel: een Aangenomen Waarnemer meet om 13.20 en 14.00 GMT een zonshoogte van Ho = 27°30’
90° – 27°30’ = 62°30’ * 60’ = 3750 Zeemijl: de Afstand tot de Aardse Projectie.

Zonwaarneming voor, op en na transit

HOOFDSTUK 13 Ware Peiling op de Aardse Projectie

De richting van het ‘Hoogtepunt’ zouden we op kunnen maken uit een kompaspeiling of een boordpeiling op de zon, en deze verrekenen tot een Ware Peiling WP op de Aardse Projectie AP. Sommige kompassen kunnen op het glas recht boven de kompasroos een naald plaatsen. De schaduw ontstaan door het zonlicht achter deze naald duidt op de kompasroos een richting aan. Te verrekenen als een peiling op de Aardse Projectie van de zon. Valt de schaduw op 15°, als kompaspeiling ligt de Aardse Projectie AP in de richting van 195°, maar als Ware Peiling volgens de regels van de astronomische navigatie is de WP van AP 15°.

Boordpeiling

Een andere vergelijkbare benadering is de Ware Peiling WP bepalen vanuit een boordpeiling, waarbij de voorliggende koers van het schip verrekend dient te worden. Stel: het schip vaart een koers van 230° en de zon wordt dwars aan bakboord gepeild. 230° minus 90° duidt een Aardse Projectie AP in de richting van 140°. Maar herleid naar een Ware Peiling bruikbaar in de astronomische navigatie is de WP 140° plus 180° maakt 320°.

De bovenstaande werkwijze kan worden gedaan, ook zonder Gegist Bestek ofwel Dead Reckoning DR of vermoeden waar we ons bevinden. Bijvoorbeeld verloren in een reddingmiddel op open zee. Of na dagen bewolkte hemel en stormachtig weer. Maar goed zeemanschap is dagelijks het Gegist Bestek, de DR in kaart te brengen. Zodat Dead Reckoning DR van de Aangenomen Waarnemer bekend blijft.

Ware Peiling ° op de Aardse Projectie

Dat wetende kunnen a) de berekende zonshoogte Hc ° tevoren berekend worden en b) de Ware Peiling WP ° op de Aardse Projectie AP kan als het ware ‘aan de kaartentafel’ berekend worden om de Meest Waarschijnlijke Standplaats MWS van de Aangenomen Waarnemer AW in kaart te brengen.

Ware Peiling en Verheid berekenen
Ware Peiling op de Aardse Projectie van de zon

Berekening Hc (Zonshoogte, ‘c’ staat voor ‘calculatie’)

sin Hc = sin b AW X sin Decl. + cos b AW X cos Decl. X cos verschil L AB
sin Hc = sin 52° X sin 10° + cos 52° X cos 10° X cos 5°
sin Hc = 0,788 X 0,174 + 0,616 X 0,985 X 0,996
sin Hc = 0,137 + 0,606 X 0,996
sin Hc = 0,137 + 0,603
sin Hc = 0,740 inversie
Hc = 45°

Berekening Vgrc (Verheid over Grootcirkel naar AP)

Vgrc = sin ba X sin bb + cos ba X cos bb X cos verschil L AB
Vgrc = sin 52° X sin 10° + cos 52° X cos 10° X cos 5°
Vgrc = 0,788 X 0,174 + 0,616 X 0,985 X 0,996
Vgrc = 0,137 + 0,606 X 0,996
Vgrc = 0,137 + 0,603
Vgrc = 0,740 inversie
Vgrc = 45° * 60 = 2700 Zeemijl

Berekening Ware Peiling T (‘T’ staat voor ‘Transit’)

cos (90° – Decl.) = cos (90° – Hc) X cos (90° – b AW) + sin (90° – Hc) X sin (90°- b AW) X cos T
cos (90° – 10°) = cos (90° – 42°) X cos (90° – 52°) + sin (90° – 42°) X sin (90° – 52°) X cos T
cos 80° = cos 48° X cos 38° + sin 48° X sin 38° X cos T
0,174 = 0,669 X 0,788 + 0,743 X 0,616 X cos T
0,174 = 0,527 + 0,456 X cos T
0,456 X cos T = 0,174 – 0,527
0,456 X cos T = -0,353
cos T = -0,353 / 0,456
cos T =-0,774 inversie
T = 39°

Wanneer de LHA (Local Hour Angel) kleiner is dan 180°, dan geldt: WP = 360° – T

Ware Peiling = 360° – 39° = 321°

Sinus, Cosinus, Tangens tabel, bruikbaar bij astronomische – en kustnavigatie.

HOOFDSTUK 14 In kaart brengen

Voor het in kaart brengen van de Meest Waarschijnlijke Standplaats MWS hebben we nu de meest belangrijke gegevens: a) de geografische positie van de Aardse Projectie AP b) de afstand of Verheid tot de Aardse Projectie AP c) de richting ofwel de Ware Peiling WP tot de Aardse Projectie. Bij een goede navigatie hoort het bijhouden van het Gegist Bestek ofwel de Dead Reckoning DR op een bepaald tijdstip op basis van koers en vaart. En naast alles wat ‘aan de kaartentafel’ is berekend: we beschikken over een gemeten Zonshoogte van Ho 44°45’ vanuit de hoogtemeting met een sextant.

Koers en Ware Peiling (Azimut)

In de zeekaart staat ‘overeenkomstig goed zeemanschap’ onze koers van 250° ingetekend, en daarin de Dead Reckoning DR van het Middagbestek: in de gegeven situatie de geografische coördinaten van 52°N 25°W. De volgende stap is de Ware Peiling WP in kaart brengen. Uittekenen van de Ware Peiling vanuit de Aardse Projectie is ondoenlijk. Daarvoor is de afstand DR-AP meestal te groot. Of de kaart te klein.

Maar we kunnen het ook anders benaderen: aan de kaartentafel hebben we de Ware Peiling WP berekend. Dus deze kunnen we door en vanuit onze Dead Reckoning DR laten lopen in de richting van de Aardse Projectie AP. Het intekenen van de AP in de kaart is van ondergeschikt belang, wat wel belangrijk is de Ware Peiling WP vanuit de Dead Reckoning DR, een deel van de Grootcirkel waarop de Hoogtekromme ingetekend gaat worden. In de astronomische navigatie wordt voor het begrip Ware Peiling op een hemellichaam het woord ‘Azimut’ gebruikt.

Hoogtekromme

Bij de Hoogtekromme gaat het om de gemeten Ho van 44°45’. Dat is immers de Hoogteparallel waarop wij ons bevinden. Op een afstand van 44°45’  bij de Aardse Projectie AP vandaan. Maar de AP zelf staat mogelijk niet op de kaart. Daarom gaan we opnieuw rekenen vanuit de Dead Reckoning DR, waarvoor we Hc hadden berekend: 45°. We kunnen de Ho intekenen op 45° – 44°45’ = op 15’ afstand van de Dead Reckoning DR op de lijn van Ware Peiling. Deze 15’ zetten we in kaart op 15’ vanaf de DR in de richting van AP.

Hoogtelijn en Hoogtepunt 

Recht op de Ware Peiling WP en rakende aan de Hoogtekromme, een klein gedeelte van de Hoogteparallel, wordt nu de Hoogtelijn ingetekend. Het snijpunt van de Ware Peiling WP, de Hoogtekromme en de Hoogtelijn geven ons gegevens om te komen tot het Meest Waarschijnlijke Standpunt MWS, welke waarschijnlijk is gelegen tussen de Dead Reckoning DR en de Hoogtelijn Ho. De bovenstaande uitkomsten bevestigen dat a) ons Gegist Bestek ofwel de DR redelijk betrouwbaar is en b) dat de waarneming van de zon en de gemeten Middagbreedte redelijk betrouwbaar is.

Meest Waarschijnlijke Standpunt 

In eerste instantie zouden we nu kunnen zeggen dat de Meest Waarschijnlijke Standpunt MWS gelegen is tussen het Hoogtepunt Ho en de Dead Reckoning in. De geografische coördinaten van deze positie kunnen we in de kaart zetten als onze Meest Waarschijnlijks Standpunt van dit moment. Gebaseerd op de plaatsbepaling met een enkele Hoogtelijn. Het Meest Waarschijnlijke Standpunt MWS ligt ergens op de Hoogtelijn. Om tot een nauwkeuriger MWS te komen zijn meer waarnemingen nodig. Bijvoorbeeld tijdens de Transit, de passage van de zon recht in het zuiden, wanneer de zon de meridiaan passeert waarop wij ons zelf bevinden.

Hoogtekromme, Hoogtelijn, Hoogtepunt in kaart

HOOFDSTUK 15 Over liggende en staande kaartranden

Bij het in kaart brengen en het uitzetten van een afstand zoals van een Dead Reckoning DR naar een Hoogtepunt dient deze afgemeten te worden langs de staande kaartrand op de breedte van het Gegist Bestek ofwel de DR. De onderlinge afstanden van de kaartminuten en – seconden bij de liggende en de staande kaartrand verschillen van elkaar. Dit als gevolg van de ‘wassende kaart’ ofwel de ‘Mercator-projectie’ waarbij het bolvormige aardoppervlak is opgerekt tot een vierkante kaart. De verhouding tussen de liggende en de staande kaartrand kan ook geconstrueerd worden op de volgende manier:

Verhouding liggende tot staande rand: Schuine AC = AB / cos b°

cos b° = Aanliggende / Schuine zijde 

cos b° = AB / AC

AC = AB / cos b° 

Afstand DR – Hoogtepunt

Om te beginnen wordt er een hanteerbare afstand genomen van de liggende kaartrand, bijvoorbeeld 3 Zeemijl ofwel 3’ (de afstand AB). Vervolgens wordt en een hoek uitgezet (in dit voorbeeld de hoek van 52°) en de schuine zijde AC geconstrueerd. Vanuit B een rechte lijn naar C. De afstand AC is de geconstrueerde afstand om vanuit de Dead Reckoning DR het Hoogtepunt en de Hoogtelijn uit te zetten. In dit voorbeeld 5 maal de afstand AC om te komen tot 15’. De verhouding tussen de liggende – en de staande kaartrand wordt in bovenstaande tekening zichtbaar.

HOOFDSTUK 16 Loxodrome koersen (koersen 0° of 180°) ofwel Noord-Zuid o.a.

De afstanden over de meridianen in boogminuten komen overeen met de afstanden in Zeemijlen: Meridianen maken deel uit van Grootcirkels. Ook op de Equator ofwel de Evenaar als zijnde een Grootcirkel komen boogminuten en Zeemijlen overeen. Koersende langs andere parallellen gaat dit niet op. Hoe dichter bij de Polen of hoe verder bij de Equator verwijderd op een oost-westelijke koers of andersom, hoe meer booggraden er worden gepasseerd. Daarom worden op de Zeekaarten de afstanden in Zeemijlen afgemeten langs de staande kaartrand, ofwel gemeten langs een meridiaan.

Verheid berekenen over meridianen (Noord-Zuid-koersen e.o.)

V = (Δ bA°- bB°) * 60

Loxodrome koersen (koersen 90° of 270°) ofwel Oost-West o.a.

Van de parallellen is alleen de Evenaar ofwel de Equator een Grootcirkel. Alle andere parallellen die ‘parallel’ aan de Evenaar lopen zijn korter ofwel kleiner van omtrek rond de aarde. Aan de Noordpool en de Zuidpool in principe geminimaliseerd tot een ‘stip’ of een ‘punt’. Op de Polen van de Aardbol komen immers alle Meridianen samen. Aan de Evenaar liggen de Meridianen verder van elkaar af. Dit betekent dat op een Oost-Westelijke koers of andersom zowel op het Noordelijk- als op het Zuidelijk Halfrond de Verheid ofwel de Afgelegde Afstand in Zeemijlen niet gelijk opgaan met het aantal afgelegde – / af te leggen boogminuten. De berekening is betrekkelijk eenvoudig: Verheid in Zeemijlen = Het verschil in booggraden * Cosinus breedtegraad * 60 minuten. Op korte afstanden is de formule Verheid in Zeemijlen = Verschil in Boogminuten * Cosinus breedtegraad. Wellicht overbodig maar ter toelichting: de Cosinus van een hoek = de Aanliggende zijde / Schuine  zijde.

Verheid berekenen over parallellen (Oost-West-koersen e.o.)

V =   (Δ lA +/- lB) * cos b° * 60

(Δ lA +/- lB) = V / cos b° * 60

Stel, we varen op de Evenaar, op de breedte van 0° waarbij we een afstand afleggen van 15 Zeemijl koers 90°. De Evenaar is een Grootcirkel, boogminuten komen overeen met Zeemijlen. Wanneer we op de Evenaar ofwel de Equator 15 Zeemijl hebben afgelegd koers 90°, dan hebben we ons 15’ ofwel 15 boogminuten verplaatst.

Cosinus van 0° = Aanliggende zijde / Schuine zijde
cosinus 0° = 15’/15’
cosinus 0° = 1

Stel, we varen op de noordelijke Poolcirkel, op de breedte van rond de 66° met een vaart van 5 Knopen koers 90° vanaf 10° OL gedurende drie uur, ook dan hebben we ons 15 Zeemijl verplaatst. Maar op de breedte van de Poolcirkel van 66° hebben we ons met 15 Zeemijlen 36’ ofwel 36 boogminuten verplaatst.

V =   (Δ lA +/- lB) * cos b° * 60

(Δ lA +/- lB) = V / cos b° * 60

15 Zeemijl = (lb – 10°) * 0,407 * 60
15 Zeemijl = (lb – 10°) * 24,42

(lb – 10°) = 15 / 24,42
(lb – 10°) = 0,61°
lb = 10° + 0,61°

0,61° / 60’ = 0,36’
lb = 10° + 0,36’ = 10°36’ OL

Loxodrome koers anders dan NZ of OW

Wanneer er voortdurend eenzelfde kompaskoers wordt aangehouden anders dan NZ of OW met voortdurend dezelfde booghoek met de Meridianen, zal dit resulteren in een spiraalvormige koerslijn uitlopend in een spiraal welke uitloopt op een pool, in een steeds kleiner wordende kring.

HOOFDSTUK 17 Grootcirkelvaren

De aarde is bolvormig, waarbij de meridianen vanaf de Evenaar tot aan de Polen steeds dichter bij elkaar komen te liggen. Wanneer er een willekeurige koers wordt uitgelegd, waarbij de booghoek met de te passeren meridianen voortdurend gelijk zou blijven, dan zou dit betekenen dat de koers een spiraalvormige route zou afleggen over de aardbol. Ter illustratie: stel dat er van een willekeurige positie op de Evenaar een eindeloze koers ingezet zou worden van 80°, dan zal de koers een spiraalvormige lijn tonen met meerdere omcirkelingen van de aardbol steeds dichter rondom de Noordpool. Bij een koers van bijvoorbeeld 100° evenzo richting de Zuidpool.

Wanneer een rechte koerslijn op een zeekaart in Mercatorprojectie uitgezet zou worden leidt dit tot een grotere Verheid. Koersende langs een Grootcirkel kan de te varen afstand worden verkort. Over korte afstanden is het voordeel van varen langs een  Grootcirkel nihil, maar bij grote Verheden zoals bij het oversteken van een oceaan kan de reis van A naar B beduidend korter worden, door het varen langs een Grootcirkel. Om dit te realiseren vaart men dus niet aanhoudend een vaste koers, maar wordt regelmatig, bijvoorbeeld dagelijks of na een vooraf berekend aantal Zeemijlen tijdens de reis een aantal maal de koers een aantal graden verlegd om de afstand tussen twee posities te bekorten.

Verheid langs een Grootcirkel berekenen

cos Vgrc = sin bA° * sin bB° + cos bA° * cos bB° * Δl AB°

cos Vgrc = cos (90°- APn°)*(90°- BPn°) + sin (90°- APn°) * sin (90°-BPn°) * Δl AB°

Disclaimer

Grootcirkelkoers van New Foundland naar de Shetlands

Met behulp van de cosinusregel voor Boldriehoeken kunnen we bij het varen langs een Grootcirkelkoers de vertrek- en aankomstkoers bereken. Door de afstand in gelijke trajecten te verdelen en bij het einde / het begin van een traject de koers te verleggen kan de Grootcirkelkoers worden berekend.

Bijvoorbeeld:

New Foundland: 53° NB 60° WL
Shetlands: 60° NB 1° WL

Cosinusregel voor boldriehoeken

cosinus Vgrc = cos (90° – bA°) * cos (90° – bB°) + sin (90° – bB°) * sin (90° – bA°) * cos hoek Pn°


Berekening van de Verheid langs de Grootcirkel:

cosinus Vgrc = cos (90° – bA) * cos (90° – bB) + sin (90° – bB) * sin (90° – bA) * cos hoek Pn
cosinus Vgrc = cos (90° – 53°) * cos (90° – 60°) + sin (90° – 53°) * sin (90° – 60°) * cos (60° – 1°)
cosinus Vgrc = cos 37° * cos 30° + sin 37° * sin 30° * cos 59°
cosinus Vgrc = 0,799 * 0,866 + 0,602 * 0,500 * 0,515
cosinus Vgrc = 0,692 + 0,155
cosinus Vgrc = 0,847
Vgrc = 32° * 60’ = 1920 Zeemijl

Berekening van de Koers bij vertrek uit New Foundland:

cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A
cos (90° – 60°) = cos (90° – 53°) * cos (59°) + sin (90°-53°) * sin (59°) * cos A
cos 30° = cos 37° * cos 59° + sin 37° * sin 59° * cos A
0,866 = 0,799 * 0,515 + 0,602 *  0,857 * cos A
0,866 = 0,411 + 0,515 * cos A
0,515 * cos A = 0,866 – 0,411
0,515 * cos A = 0,455
cos A = 0,455 / 0,515
cos A = 0,883

Koers A = 28° (Vertrekkoers New Foundland)

Berekening van de Koers bij aankomst Shetlands:

cos b = cos c * cos a + sin c * sin a * cos B
cos (90° – 53°) = cos (59°) * cos (90° – 60°) + sin (59°) * sin (90° – 60°) * cos B
cos 37° = cos 59° * cos 30° + sin 59° * sin 30° * cos B
0,799 = 0,515 * 0,866 + 0,857 * 0,500 * cos B
0,799 = 0,446 + 0,428 * cos B
0,428 * cos B = 0,799 – 0,446
0,428 * cos B = 0,353
cos B = 0,353 / 0,428
cos B = 0,824

Koers B = 34° (Aankomstkoers Shetlands)

Tussen de berekende Vertrekkoers en Aankomstkoers  ligt een verschil van 34° – 28° = 6° De verheid langs de Grootcirkel bedraagt een afstand van 1920 Zeemijl waarin een aantal maal de koers verlegt gaat worden om langs de Grootcirkel te varen.

1920 Zeemijl / 7 trajecten (6 koerswijzigingen) leidt
tot een koerswijziging van 1° Oostwaarts om de 275 Zeemijl

HOOFDSTUK 18 Poolshoogte

Een aardige is het meten van de Poolshoogte bij de hoogtemeting van de Polaris ofwel de Poolster. Deze staat vrijwel in het verlengde van de aardas en heeft daarmee een Aardse Projectie van 90° Noord. Een lengtegraad kan daarmee niet aangeduid worden, op 90° Noorderbreedte komen alle meridianen samen. Zouden we op de Noordpool van de Aarde recht onder de Polaris gaan staan, met andere woorden op de Aardse Projectie van de Polaris en ons Zenit laten samenvallen met de Polaris, dan zouden we een Ho van 90° waarnemen. Zouden we (bijvoorbeeld) ons 1° verplaatsen ofwel 60 Zeemijlen van de Geografische Noordpool vandaan, dan zouden we een Ho van 89° Waarnemen. Ons bevindend op 89° Noorderbreedte.  Stel dat we vanaf de Equator ofwel de Evenaar de Polaris kunnen waarnemen, dan zouden we een Ho van 0° meten, de Polaris op de Waargenomen horizon. We weten: de Equator ligt op 0°. Bij de Polaris geldt: de Poolshoogte komt overeen met de breedtegraad van de Aangenomen Waarnemer.

Poolshoogte met kwadrant

Met een eenvoudig te maken kwadrant, een kwart van een gradenboog kan een redelijk nauwkeurig hoogtemeetinstrument worden gemaakt. Het principe is hieronder weergegeven: aan de hoek van het kwadrant wordt een koord met een gewicht eraan bevestigd. Kijk langs de rand vanuit de hoek van 90° naar de bovenhoek richting een hemellichaam (in de tekening de Polaris). Het gewichtje zal naar het middelpunt van de aarde wijzen. Het koord lijnrecht omhoog naar het Zenit. Op de gradenboog duidt het koord de hoek aan tussen de waargenomen horizon en het hemellichaam. Of anders gezegd, de hoogte in booggraden van het waargenomen hemellichaam. Bij de hoogtemeting van de Polaris de breedtegraad waarop wij ons bevinden.

Hoogtemeting met kwadrant
Poolshoogte Ho° = Breedte AW°

Poolshoogte

Ho° = 90° – Zd°
bAW° = 90° – Zd°
Ho° = bAW°

Een Ware Peiling van een Aangenomen Waarnemer op de Aardse Projectie van de Polaris is vanuit de benadering van de astronomische navigatie een peiling van 180°. De Hoogtekromme, deel uitmakende van een Hoogteparallel valt samen met een parallel van de Equator. Iedere Aangenomen Waarnemer op zo’n Hoogteparallel meet dezelfde Ho° van de Polaris. Ware Peilingen op andere hemellichamen maken het mogelijk om het Meest Waarschijnlijke Standpunt (de lengtegraad) te bepalen.

Daarbij: de Zenitafstand Zd ° is ook maatgevend voor de afstand in booggraden, en daaruit voortvloeiende de afstand in Zeemijlen van de Aangenomen Waarnemer tot de Aardse Projectie, door het aantal booggraden te vermenigvuldigen met 60’. We weten: in 1° over een Grootcirkel bevinden zich 60’ ofwel 60 Zeemijlen.

Afstand AW – AP = Zd ° * 60’

HOOFDSTUK 20 Ware Peiling en Azimut

De Ware Peiling op de Aardse Projectie van een hemellichaam

WARE PEILING De Ware Peiling van een hemellichaam is de richting van de Aardse Projectie gezien vanuit de Aangenomen Waarnemer.

Azimut Zn ° en Berekende hoogte Hc °

AZIMUT Het azimut van een hemellichaam is de afstand in graden vanaf het Ware Noorden naar de Aardse Projectie van dat hemellichaam.

Het azimut wordt gemeten langs de horizon van de Aangenomen Waarnemer oplopende in oostelijke richting.

HOOFDSTUK 21 Equatoriaal Coördinatenstelsel 

Om de positie van sterren aan de hemelsfeer weer te geven wordt het Equatoriaal Coördinatenstelsel gebruikt. Dit coördinatenstelsel lijkt deels op het geografisch coördinatenstelsel. De hemelsfeer heeft een noordelijke – en een zuidelijke hemelsfeer, vergelijkbaar met het noordelijk – en het zuidelijk halfrond van de aarde. Het Equatoriaal coördinatenstelsel kent ook een noordelijke – en een zuidelijke hemelpool Pn en Pz, liggende in het verlengde van de aardas en de aardse Noord – en Zuidpool. In het vlak als de aardse Evenaar ligt de Hemelequator.

Kent Equatoriaal Coördinatenstelsel kent geen oostelijk – en westelijk halfrond, maar in de ‘lengterichting’ gebruikt het Equatoriaal coordinatenstelsel het begrip Sidereal Hour Angel ofwel de Siderische Uurhoek van 0° tot 359°59’59”,. Het ‘nulpunt’ is het ‘Lentepunt’ ofwel ‘Ariës’ aangeduid met 0°. De waarde van het Sidereal Hour Angle loopt vanaf Ariës op tot 359°59’59”, de Rechte Klimming. In het Equatoriaal coördinatenstelsel worden hemellichamen gepositioneerd met een noordelijke – of een zuidelijke Declinatie, in booggraden van 0° tot 90° Noord of Zuid ten opzichte van de Hemelequator.

Equatoriaal Coördinatenstelcel
Geselecteerde Sterren voor de navigatie, bron: Nautical Almanac
Geselecteerde sterren voor de navigatie Bron: TheNauticalAlmanac.com
Sterrenkaart
Geselecteerde sterren voor de navigatie, Duhbe 27 bron: TheNauticalAlmanac.com

HOOFDSTUK 22 Werken met Publicatie Ho-249

Duhbe (27) aan de noordelijke hemelsfeer

Voor de astronomische navigatie zijn er een 57 tal heldere en herkenbare sterren geselecteerd. In deze uitleg zullen we ons concentreren op de ster Duhbe, genummerd 27. Duhbe maakt deel uit van het sterrenbeeld ‘Grote Beer’ (Ursa Major) en bevindt zich aan de noordelijke hemelpool. Door een lijn te trekken van ‘Merak’ naar ‘Duhbe’ en deze vijf maal te verlengen kan de Polaris ofwel de Polaris worden gevonden.

Geselecteerde sterren voor de navigatie, Duhbe 27 bron: TheNauticalAlmanac.com

Equatoriale coördinaten Duhbe (27)

De Equatoriale coördinaten van Duhbe zijn een Rechte Klimming van 193°46’ Sidereal Hour Angle (SHA) bij een Declinatie van 61°39’ Noord. Dit wil zeggen dat de Siderische Uurhoek SHA vanaf het 0° punt Ariës ϒ (het Lentepunt) 193°46’ bedraagt, de Rechte Klimming, en dat Duhbe zich 61°39’ noordelijk van de Hemelequator bevindt.

Maar de Aarde draait voortdurend om haar as en in een baan om de zon met de hemelsfeer om zich heen. Voor een Aangenomen Waarnemer verschuift de nachtelijke hemelsfeer voortdurend, zoals ook de zon overdag een baan langs de hemel beschrijft. De aanblik van de hemelsfeer is ook anders op verschillende breedten van de Aarde. Op noordelijke breedten staat Duhbe hoger boven de horizon dan op zuidelijker breedten. Om daar inzicht in te verkrijgen onderstaande tabellen waarin ster 27 ‘Duhbe’ is uitgelicht.

Publicatie Ho-249

De waarden in de tabellen zijn de uitkomsten van de inmiddels bekende Cosinusregel voor Boldriehoeken, de tabellen vervangen het rekenwerk voor elke geselecteerde ster vanuit de breedte van de Aangenomen Waarnemer, zowel de berekende hoogte Hc ° als het Azimut Hn ° ofwel de richting.

cos AB = cos BPn * cos APn + sin BPn * sin APn * cos Δ Pn°

Duhbe waargenomen van 52° Noorderbreedte

In de tabel hierboven is ster Duhbe een aantal maal uitgelicht. Links bij de Sidereal Hour Angle SHA van 30° oplopend naar 37° onder het ‘vergrootglas’ maar ook verder. In het midden van de tabel en daaronder bij een SHA ten opzichte van Ariës ϒ bij 90° en verder. De tabel is voor toepassing van een Aangenomen Waarnemer op 52° Noorderbreedte. Een Aangenomen Waarnemer op 52° Noord zal op het tijdstip van SHA 90° Duhbe waarnemen op een hoogte Ho van 49°44’ bij een Azimut Hz van 46°. Zichtbaar is dat per ° van de SHA zowel de Hc ofwel de hoogte, als het Azimut ofwel de Ware Peiling verlopen.

Meridiaan van AW en AP

In beginsel gaat op wat ook opgaat voor de zon: wanneer een hemellichaam recht in het zuiden of het noorden staat, dan bevinden de Aangenomen Waarnemer en de Aardse Projectie van dat hemellichaam zich op dezelfde meridiaan, op dezelfde Grootcirkel, in hetzelfde vlak met het middelpunt van de Aarde.

Hoogste punt Ho °

Ook zal voor een Aangenomen Waarnemer het hemellichaam vergelijkbaar met de zon bij het passeren van de meridiaan door het hoogste punt gaan, de hoogste Ho ° van de ster kan worden gemeten.

Capella, Aldebaran, Hamal

Ter illustratie een voorbeeld uit de tabel van 52°N. Links bovenaan op Rechte Klimming 0° staan de hemellichamen Capella, Aldebaran en Hamal. Capella staat in de lijst ‘Geselecteerde Sterren’ aangeduid als ‘12’, Aldebaran als ‘10’ en Hamal als ‘6’. In de sterrenkaart van ‘Geselecteerde Sterren’ zien we deze drie hemellichamen tussen de Rechte Klimming van 270° en 330° ingetekend. Wanneer wij ons bevinden op een breedte van 52° Noord, met hemellichaam Alpheratz ‘1’ zuidelijk van ons (Azimut 175° staat er in de tabel) dan lezen we in de tabel:

Berekende hoogte Hc Capella is 40°08’ N, Azimut Zn 63°
Berekende hoogte Hc Aldebaran is 25°41 N, Azimut Zn 96°
Berekende hoogte Hc Hamal is 52°29’ N, Azimut Zn 127°P.

Uitgaande van de Sterrenkaart lijken de ‘Azimutpeilingen’ op het eerste gezicht bij Capella, Aldebaran, Hamal onlogisch. Maar de kaart is getekend als een ‘Mercatorprojectie’, een weergave van een bolvorm in een rechthoek. Reden waarom de ‘peilingen op aardse projecties’ van hemellichamen ‘in de lengte’ vertekenen. Anders is dat bij peilingen langs hemelmeridianen. Zie bijvoorbeeld ster Alpheratz ‘1’ waar bij de LHA van 0° een Azimut Zn van 175° vermeld staat, zo goed als in de richting van een hemelmeridiaan.

Publicatie Ho-249 tabellen

De Ho-249 tabellen met geselecteerde sterren zijn bedoeld om de astronomische navigatie te vermakelijken. Voor de geselecteerde sterren worden per Lokale Uurhoek (LHA) en breedtegraad van relevante sterren de berekende zonshoogte Hc ° en het Azimut Zn ° in tabelvorm weergegeven. De getallen zijn de resultaten van boldriehoek berekeningen. Om de tabellen te begrijpen hieronder twee ‘naberekeningen’, om de verhoudingen tussen de gegeven waarden te begrijpen.

Bron: Publicatie Ho-249

Proef op de som, Sirius op 16°45’S

Van hemellichaam Sirius (18) wordt een Declinatie vermeld van 16°45’ Zuid. In de tabel staat dat wanneer Sirius bij een Azimut Zn van 179° tot 181° wordt waargenomen, bij een breedte van de Aangenomen Waarnemer van 52°, dat de Hc 21°15’ zal bedragen.

Sirius (18) vanuit b AW 52° waargenomen langs een meridiaan

De afstand in booggraden van 52°N tot 16°45’Z bedraagt (bij elkaar opgeteld) 68°45’. De volgende som geeft als uitkomst 90° – 68°45’ = 21°15’, dit komt overeen met de vermelde Hc in de tabel. Anders benaderd: Zonshoogte Hc ° = 90° – Zenitafstand Zd °. De Zenitafstand Zd ° komt overeen met de afstand van de Aangenomen Waarnemer tot de Aardse Projectie, gerekend langs een meridiaan.

Alpheratz

Alpheratz (1) heeft een Declinatie van 29°12’ N. De berekende hoogte Hc bedraagt volgens de tabel 67°12’ bij passage van de meridiaan van AW 67°12’. De afstand van de breedtegraad AW van 52° minus de Declinatie van Alpheratz dus 29°12’ bedraagt 22°48’. De uitkomst van 90° minus 22°48’ is 67°12’, overeenkomstig de Hc volgens de tabel. 22°48’ is zowel de Zenitafstand Zd ° als de boogafstand Aangenomen Waarnemer AW tot de Aardse Projectie A, gerekend langs een meridiaan.

Alpheratz (1) vanuit b AW 52° waargenomen langs een meridiaan

Publicatie Ho-249 The Nautical Almanac

Disclaimer

De bovenstaande uitleg en benaderingen zijn zo betrouwbaar mogelijk uitgelegd maar geven geen garantie op een veilige navigatie ter land, ter zee of in de lucht of het slagen voor een examen. Het bovenstaande is uitsluitend bedoeld om het begrip van en de belangstelling voor de navigatie te verbreden.