NAVIGEREN OP DE STERREN

Wat eraan vooraf is gegaan

Het lijkt zo vanzelfsprekend om de aarde als middelpunt van het heelal te beschouwen. De aarde waar de dagelijks zon en de maan rondjes omheen draaien en dan om de aarde heen een hemel van sterren, sterrenbeelden en planeten. De mens is geneigd om de aarde zo te beschouwen, de aarde als middelpunt van al wat is. Ook voor het verklaren en bepalen van de jaargetijden, de watergetijden en de seizoenen is dat een werkbare verklaring, beschouwde de mens de aarde als het middelpunt waar alles om draait. Wat kan de mens anders, als de aarde ‘jouw’ wereld is, ‘jouw’ wereldbeeld bepaald? Het is de benadering die ook in de astronomische navigatie blijkt te werken. Een verklaring die het voor de mens begrijpbaar maakt. Maar de werkelijkheid is een andere. De werkelijkheid gaat het bevattingsvermogen van tijd en ruimte en afstand, het begrip van de mens te boven. De mens kan er niet bij.

Prehistorische zonnekalenders in de bergen van Oostenrijk bij Bludenz, vergelijkbaar met de steenformatie van het Engelse Stonehenge

Zon, maan, sterren en planeten

Om een tipje van de hemelsluier en van de wijdsheid van het heelal op te lichten: zelfs de zon is niet het middelpunt het heelal waar alles om draait. En de sterren blinken niet omdat deze door de zon worden beschenen. Dat leerde de kleuterjuf eens. Maar de werkelijkheid is anders. De zon die wij waarnemen is ‘slechts’ één van de ontelbare hemellichamen, één van de talloze sterren die wij waarnemen aan een nachtelijke hemel. De sterren aan de hemel schitteren dus niet omdat ‘onze’ zon deze beschijnt, nee, iedere ster schittert vanuit zichzelf. Zoals er ontelbaar zoveel stralende hemellichamen zijn waar planeten omheen circuleren zoals de planeten in ‘ons’ zonnestelsel Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, Mercurius, Venus, Aarde en Mars. Inderdaad: de aarde is ‘slechts’ een planeet circulerend rondom de zon. Één van de ontelbare hoeveelheid zonnen in het heelal. En ‘onze’ maan is slechts één van de miljarden manen in het heelal die ronden draaien om ‘hun’ planeet in ‘hun’ zonne- of sterrenstelsel. Daarin had de kleuterjuf wel gelijk. De maan schijnt door de bomen omdat de zon haar beschijnt.

De planeet aarde beweegt zich in een baan rondom de zon

Noordelijke – en Zuidelijke hemelpool Pn en Pz

De zon is dus niet het middelpunt van het heelal. En de aarde al helemaal niet. Maar als we de zon en de aarde wel ‘tegen beter weten in’ wel als het middelpunt van het heelal beschouwen, dan ontstaat er een werkbaar model dat ons helpt onze aardse waarnemingen van het firmament te begrijpen. Kijkend naar tekening hierboven, waarbij de aarde in een baan in bij benadering 365 dagen om de zon heen cirkelt. En de aarde op haar beurt in 24 uur om de denkbeeldige aardas. In het oneindige noordelijke verlengde van de aardas staat de Poolster ofwel de Polaris. In het oneindige verlengde van de aardas in zuidelijke richting de sterrenformatie Zuiderkruis. Zelfs de baan die de aarde rond de zon beschrijft als zijnde een planeet in ‘ons’ zonnestelsel doet aan onze waarneming niets af: wij blijven de Polaris waarnemen aan de noordelijke hemelpool, aangeduid als Pn. Als equivalent van de aardse Noordpool. En de sterrenformatie Zuiderkruis als Pz aan de zuidelijke hemelpool. Als oriëntatiepunt van de aardse Zuidpool.

Het vinden van de Poolster ofwel de Polaris

Aanblik van de sterrenhemel

Nu doet zich voor dat de sterrenhemel niet iedere tijd van het jaar hetzelfde aanblik heeft. De reden is de positie van de aarde in haar baan rondom de zon gedurende het jaar. Zie de voorstelling hierboven van de aarde ten opzichte van de zon. Tijdens de perioden van de astronomische zomer van het noordelijk halfrond bevind de aarde zich zoals weergegeven in de tekening links van de zon. De sterrenhemel aan de rechterzijde achter de zon is daarmee overdag vanaf de aarde niet zichtbaar. De sterrenhemel is er wel, maar het daglicht van de zon laat de sterren op dat tijdstip niet zien. Aan de nachtzijde van de aarde wordt de sterrenhemel vanaf de aarde wel waargenomen. Eenvoudig gezegd: de sterren zijn er wel, maar door het daglicht niet zichtbaar voor de waarnemer.

De planeet aarde beweegt zich in een baan rondom de zon

Tijdens de astronomische zomer van het zuidelijk halfrond geldt het omgekeerde, dan wordt de sterrenhemel aan de rechterzijde in de nachtelijke perioden op dat tijdstip juist wel zichtbaar vanaf de aarde. De sterrenhemel achter de zon aan de linkerzijde blijft dan onzichtbaar. Het daglicht laat niet toe dat de sterrenhemel aan de zonzijde wordt gezien. Zo veranderd de nachtelijke aanblik van de sterrenhemel met het uur en met de seizoenen. Het jaargetijde, de plaats waar iemand zich bevind en het tijdstip waarop iemand de hemel waarneemt bepaald de aanblik van de sterrenhemel. De waarnemer op aarde neemt een andere deel van het heelal waar.

De aanblik van de hemel veranderd daarbij niet alleen met de jaargetijden, maar ook voortdurend bij het voorbijgaan van de nacht. Met andere woorden, de nachtelijke hemel veranderd met het uur. Weliswaar blijft de Polaris ‘als een draaipunt’ aan de Noordelijke hemelpool staan gezien vanaf de aarde. Maar de sterrenbeelden Grote Beer en Kleine Beer lijken om de Polaris heen te draaien in een cirkelvormige beweging. Zo kijken ‘wij’ naar de nachtelijke hemel. Kort samengevat: de sterrenhemel achter de zon is niet waarneembaar vanaf de aarde.

Equatoriaal Coördinatenstelsel 

Om bruikbaar voor de navigatie de positie van sterren aan de hemelsfeer weer te geven wordt het Equatoriaal Coördinatenstelsel gebruikt. Dit coördinatenstelsel lijkt deels op het geografisch coördinatenstelsel dat gebruikt wordt om posities op aarde aan te duiden. De hemelsfeer heeft een noordelijke – en een zuidelijke hemelsfeer, vergelijkbaar met het noordelijk – en het zuidelijk halfrond van de aarde. Het Equatoriaal Coördinatenstelsel heeft daarbij ook een noordelijke – en een zuidelijke hemelpool Pn en Pz, in het verlengde van de aardse Noord – en Zuidpool. In hetzelfde vlak als de aardse Equator ofwel Evenaar ligt de Hemelequator. Echter, de hemelsfeer in het Equatoriaal Coördinatenstelsel heeft geen oostelijk – en westelijk halfrond, er wordt niet gesproken over Oosterlengte en Westerlengte, maar in ‘lengterichting’ gebruikt het Equatoriaal Coördinatenstelsel het begrip Sidereal Hour Angel van 0° tot 360° vanuit het Lentepunt in oostelijke richting. Zo wordt er in het Equatoriaal Coördinatenstelsel ook niet gesproken over Noorder – en Zuiderbreedte maar over een Noordelijke – en een Zuidelijke Declinatie.

Equatoriaal Coördinatenstelcel

Sterrenkaart met voor de navigatie geselecteerde sterren

Sterrenkaart in Mercatorprojectie samengesteld door JJdV naar voorbeeld van Henk Bezemer

Hierboven en hieronder twee sterrenkaarten in Mercatorprojectie, naar een voorbeeld van de sterrenkaart samengesteld door zeezeiler Henk Bezemer (boven) en een sterrenkaart uitgegeven door het U.S. Naval Observatory. In eenvoudige bewoording, de hemelsfeer gezien vanaf de aarde ziet eruit als een bolvorm met de aarde als middelpunt waar tegen het ‘plafond’ de sterren zijn geplakt. Bij de sterrenkaart in Mercatorprojectie zijn de noordelijke en zuidelijke posities opgerekt tot een gelijkmatige rechthoek evenwijdig aan de Hemelequator.

Geselecteerde Sterren voor de navigatie, bron: Nautical Almanac

Declinatie van sterren

De voor de navigatie geselecteerde sterren zijn genummerd van 1 tot 57. Om de sterren te kunnen herkennen zijn opmerkelijke sterrenformaties verder aangevuld met aanwijzende sterren. Vergelijkbaar met het geografisch coördinatenstelsel en de Declinatie van de zon zijn de posities aangeduid met een noordelijke- en een zuidelijke Declinatie ten opzichte van de Hemelequator gelegen op 0°. De Hemelequator wordt beschouwd als liggende in hetzelfde horizontale vlak als het vlak van de aardse evenaar. Een ster wordt dus aangeduid met een noordelijke – of een zuidelijke Declinatie. De Poolster ligt daarbij (bij benadering) op 90° Noord, de sterrenformatie Zuiderkruis (bij benadering) op 57° Zuid. De Declinatie van een ster is af te lezen aan de staande randen van de kaart.

Bijvoorbeeld:

Ster Rigel (11)  heeft een Declinatie 8°13’ Zuid (1985)
Ster Pollux (21) heeft een Declinatie van 28°04’ Noord (1985)

Siderische Uurhoek

Bij de vergelijkbare Sterrenkaart met voor de navigatie geselecteerde sterren zoals hieronder weergegeven zijn de boven- en onderrand aangeduid van 0° tot 360°. Dit wordt de Sidereal Hour Angle van een ster genoemd, oplopend van 0° tot 360°. Anders dan bij het geografische coördinatenstelsel is er bij het Equatoriaal Coördinatenstelsel geen sprake van een Ooster- of een Westerlengte maar van Sidereal Hour Angel, ofwel de Siderische Uurhoek. Het 0° punt van de SHA ligt bij het Lentepunt ‘Ariës’. Oorspronkelijk gelegen bij ster Hamal (6) maar naar huidige maatstaven gelegen bij ster Alpheratz (1). De Declinatie ten opzichte van de Hemelequator en de Siderische Uurhoek geven samen de coördinaten van een hemellichaam ten opzichte van het Lentepunt Ariës.

Bijvoorbeeld:

Ster Rigel (11) heeft een Siderische Uurhoek SHA van 281°33’ (1985)
Ster Pollux (21) heeft een Siderisch Uurhoek van 243°54’ (1985)

Rechte Klimming

Een andere aanduiding voor die van de Siderische Uurhoek ofwel SHA is de Rechte Klimming in uren, minuten en seconden gerekend vanaf het Lentepunt Ariës in oostelijke richting. Vanuit het Nulpunt van 0.00 uur loopt de Techte Klimming op in oostelijke richting tot 24.00 uur.

Waarnemen van de Rechte Klimming, Siderische Uurhoek en Declinatie

Wanneer een waarnemer een hemellichaam recht in het zuiden of noorden ziet staan, of recht boven zich in het Zenit, dan is dat het tijdstip van de Rechte Klimming. Het hemellichaam passeert de meridiaan van de Aangenomen Waarnemer. Dit tijdstip duidt de Sterrentijd en de Siderische Uurhoek ofwel de SHA. De Sterrentijd is het verschil in tijd tussen de Siderische Uurhoek van een Hemellichaam en het Lentepunt ofwel Ariës. Bij een hemellichaam gelden de vergelijkbare principes als bij het bepalen van de middagbreedte gemeten bij de zon:

Noordelijke Declinatie, AW noord van GP
Zuidelijke Declinatie, AW noordelijk van GP
Hemelbreedte kleiner dan Declinatie van het hemellichaam

Samenvatting formules breedtebepaling bij sterren

Noordelijke Declinatie, AW ten noorden van GP ster:

Breedte AW ° =  (90° – Zonshoogte Ho °) + Declinatie °
Breedte AW ° = Hemelbreedte Zd ° + Declinatie °

Noordelijke Declinatie, AW ten zuiden van GP ster:

Breedte AW ° = (90° – Zonshoogte Ho °) – Declinatie °
Breedte AW ° = Hemelbreedte Zd° – Declinatie ° 

Zuidelijke Declinatie, AW ten zuiden van GP ster:

Breedte AW ° = (90° – Zonshoogte Ho °) + Declinatie °
Breedte AW ° = Hemelbreedte Zd ° + Declinatie °

Zuidelijke Declinatie, AW ten noorden van GP ster:

Breedte AW ° = (90° – Zonshoogte Ho ° ) – Declinatie ° 
Breedte AW ° = Hemelbreedte Zd ° – Declinatie °

Hemelbreedte kleiner dan de Declinatie van de ster

Breedte AW ° = Declinatie ° – (90° – Ho °)
Breedte AW ° = Declinatie – Zd °

Voor de navigatie geselecteerde sterren en hun positie aan het firmament

Nautical Almanac

Fragment uit The Nautical Almanac

De sterrenkaart geeft een visuele indruk van de hemelsfeer. Maar meer gespecificeerd zijn de tabellen met voor de navigatie geselecteerde sterren. Hierboven een fragment uit The Nautical Almanac beschrijvende de positie van sterren in de hemelsfeer volgens het Equatoriaal Coördinatenstelsel. Linksboven uitvergroot de letters LHA staande voor de Local Hour Angle gerekend vanaf Ariës. Rechtsboven uitvergroot de breedte van waarvoor de stergegevens zijn berekend. Deze pagina geldt voor de breedtegraad van 52° Noorderbreedte volgens het Geografisch Coördinatenstelsel. Onder andere dus voor de breedtegraad van Nederland. Zo zijn er voor alle noordelijke – en zuidelijke breedtegraden pagina’s in de Nautische Almanac met alle voor de navigatie geselecteerde sterren. Een heel boekwerk! Rechtsonder is ster Alioth uitvergroot, één van de sterren van het sterrenbeeld Grote Beer (in de ‘steel’ van de ‘steelpan’). Linksonder de LHA 300° uitvergroot. Bij benadering is dit de situatie rond de klok van 4.00 uur sterrentijd. Gezien het gegeven dat de aarde in 24 uur een omwenteling rond de aardas maakt van 360°.

Samengevat

Zo leert de bovenstaande pagina over voor de navigatie geselecteerde ster 32 met de naam Alioth het volgende: op een breedte van 52° Noorderbreedte en een LHA van 300° is de berekende hoogte Hc (c staat voor calculatie) van 33°44’ bij een Azimut (Ware Peiling vanuit de Aangenomen Waarnemer) van 320°. Direct daaronder in de kolom zien we dat bij een LHA van 301° enzovoort de waarden verlopen naar andere waarden.

Lokale Uurhoek LHA

Zeezeiler Henk Bezemer voegde aan zijn Sterrenkaart de Locale Hour Angle LHA ofwel de Locale Uurhoek toe van 0.00 uur tot 24.00 uur, ingetekend op de onderrand van de kaart gerekend vanuit Ariës. Wanneer bijvoorbeeld varende rond de Evenaar op een bepaald tijdstip ster Aldebaran (10) SHA 290°44’ pal Noord wordt gepeild, dan zal ongeveer 1 uur en 45 minuten later Betelgeuze (11) SHA 270°56’ in het Noorden worden gepeild.

Geografische Projectie

Het Equatoriaal Coördinatenstelsel heeft dus overeenkomsten met het Geografisch Coördinatenstelsel van de aarde: de geografische Noordpool van de aarde heeft de noordelijke Hemelpool boven zich, de geografische Zuidpool van de aarde de zuidelijke Hemelpool. Het vlak van de aardse Evenaar ofwel Equator ligt in hetzelfde vlak als de Hemelequator. Waarbij de hemelsfeer bolvormig rond de aardbol wordt beschouwd. Met het Middelpunt Mp van de aarde als middelpunt van de Hemelsfeer. De werkelijkheid is weliswaar anders, maar voor de navigatie is dit een werkbaar model.

Waarbij de zon om de aardbol cirkelt volgens de golvende lijn in de weergegeven Sterrenkaarten. De golvende lijn geeft de baan aan welke de zon gedurende een astronomische jaar aflegt langs de hemelsfeer. De sterren zijn aan de hemelsfeer dus voorgesteld alsof zij tegen een bolvorm aan zijn gelegen, allen op gelijke afstand van het Middelpunt Mp van de aarde. In werkelijkheid bevinden de sterren zich op verschillende afstanden van het Middelpunt van de aarde. Maar ieder hemellichaam in de Hemelsfeer heeft een Geografische Projectie GP op het aardoppervlak. De Geografische Projectie van een hemellichaam ligt op het snijpunt van de lijn van een hemellichaam naar het middelpunt Mp van de aarde. Een Geografische Projectie die weergegeven wordt als een geografisch coördinaat.

De Geografische Projectie van een hemellichaam

Stel nu eens dat de Geografische Projectie GP van een hemellichaam bekend is. Dan zouden we door het meten van de hoogte in booggraden van het hemellichamen onze afstand tot de Geografische Projectie kunnen bepalen, vanuit het principe dat bij een Grootcirkel een boogminuut overeenkomt met een Zeemijl. Neem bijvoorbeeld de Geografische Projectie van de Polaris, daarvan weten we dat de GP 90° Noorderbreedte is. Vanuit de breedtegraden van de Waddeneilanden meten we een Ho van (bij benadering) van 53°.  We weten dat de GP van de Polaris 90° is, en dat de Meridiaan waarop wij ons bevinden een Grootcirkel is, dat wil zeggen dat elke boogminuut overeen komt met een Zeemijl.

90° – 53° = 37°
37° * 60’ = 2220’
Afstand GP Polaris tot Breedtegraad Waddeneilanden = 2220 Zeemijl

Aardse Projectie

Er kan dus een cirkel worden getrokken bestaande uit posities op 2220 Zeemijl afstand vanaf de GP van de Polaris, resulterend in een cirkel op de 53°e breedtegraad: een parallel, weliswaar een kleincirkel. Iedere positie op deze 53° parallel bevindt zich op deze lijn.

Azimut

Nota bene, een kompaspeiling op het noorden zou niet de oplossing zijn om van hieruit een lengtegraad te bepalen! Immers, iedere kompaspeiling (teruggerekend naar een ware peiling) zou als richting 0° zijn. Maar voor andere Geografische Projecties geldt dat dus niet. Op een Geografische Positie niet gelegen op de ware Noord- of Zuidpool kan een Ware Peiling worden gedaan, geheten het Azimut. Vanaf ieder punt op de cirkel zal er een andere Ware Peiling ofwel een andere Azimut op de Geografische Projectie op het kompas af te lezen zijn. Maar iedere Aangenomen Waarnemer heeft ook een eigen Zenith boven zich en een Nadir onder zich, staande op een Aardse Projectie met een Normaal welke door het Middelpunt Mp van de aardbol gaan. De vraag is: waar op de cirkel bevinden wij ons? Daar hebben wij het Azimut voor nodig, de Ware Peiling van een GP.

Stel, dat de Geografische Positie van een ster op een bepaald moment bekend is, bijvoorbeeld 43° NB 9° WL, en we meten een hoogte van die ster op dat moment van 75° met een Azimuthpeiling is 210° ( Ware Peiling op GP). Hoe dan een lijn te plaatsen in een zeekaart om onze positie aan te kruisen, aan de hand van onze afstand en richting tot de Geografische Projectie van het hemellichaam. Vergelijkbaar als bij de GP van 90° van de Polaris op de Noordpool kunnen we ook een Grootcirkel een afstand in Zeemijlen bij andere Geografische Projecties construeren. Met als resultaat een kleincirkel metaalsector midden een GP ergens op aarde.

90° – 75° = 15°
15° * 60’ = 900’
Afstand GP 43° NB 9° WL tot Aangenomen Waarnemer = 900 Zeemijl

Hoogtelijn construeren nabij Dead Reckoning

Maar het is in de praktijk ondoenlijk maar ook onnodig om in een Zeekaart een volledige, dat wil zeggen cirkelvormige ‘Hoogtelijn’ te construeren met een Radius van 900 Zeemijl rondom de GP. Want hoe lager de ster boven de horizon, hoe groter de cirkel in de zeekaart. En omgekeerd, hoe hoger de ster aan de hemel, des te dichter onze Aardse Projectie bij de Geografische Projectie van het hemellichaam. Maar in principe hebben we maar een beperkt deel van de cirkeltje nodig, het deel waar wij onszelf vermoeden te zijn. Wanneer de Ware Peiling op de Geografische Projectie is gedaan ofwel het Azimut bekend is, in het gegeven voorbeeld de Ware Peiling van 210°, dan kan er dus een lijn in de kaart gezet worden vanuit de GP op een afstand van 900 Zeemijl, en dan een lijn haaks op de peiling als zijnde onze Aardse Projectie. Dat rechte stukje is dan deel van de cirkel. Hoe dichter het kruispunt van deze lijnen liggen bij de Dead Reckoning (Gegist Bestek) van de Aangenomen Waarnemer, hoe betrouwbaarder de waarneming en bevinding. Verbetering en controle kan worden gedaan door de hoogte te meten van meerdere sterren en vergelijkbare lijnen in de kaart te construeren. Op basis van een bekende Geografische Projectie van een hemellichaam, de Ware Peiling op het hemellichaam en de afstand de Geografische Projectie.

Cosinusregel voor boldriehoeken

Eerste Cosinusregel voor boldriehoeken 

cos a = cos b * cos c + sin b * sin c * cos A
cos b = cos c * cos a + sin c * sin a * cos B
cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos C

Klik op afbeelding en ga naar gemeten zonshoogte-correcties

Ga naar Nautische Almanak

Stellen van spiegels van sextant

Disclaimer

De bovenstande uitleg en benaderingen zijn zo betrouwbaar mogelijk uitgelegd maar geven geen garantie op een veilige navigatie ter land, ter zee of in de lucht of het slagen voor een examen. Het bovenstaande is uitsluitend bedoeld om het begrip van en de belangstelling voor de navigatie te verbreden.